欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!
夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型,其证明过程之巧妙,图形变化之丰富,还能与很多知识点(如角平分线定理,勾股定理)相结合,是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种:一是截长补短,二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题
夹半角模型分类:
( 1 ) 90°内夹 45°;( 2 )90 °外夹 45 °;( 3 ) 120 °夹 60 °。
【题型一】 90°夹 45 °
例 1 如图,在四边形 ABCD 中,/ BAD =∠ B =∠ C =∠ D = 90 °, AB = BC = CD = AD , E 在 BC 上, F 在 CD 上,且∠ EA F = 45 °,求证 : ( 1 ) BE + DF = EF ; ( 2 ) ∠ AEB =∠ A E F .
思路分析: 显然,猜想EF=DF+BE,∴有进行线段截移,AD=AB,∠ DAF +∠ BAE = 45 ° =∠ EAF,因此,考虑将△ADF旋转到 △AGB。
证明 :
( 1 ) 延长 CB 到点 G ,使 BG = DF ,连接 AG .
∵△ ABG ≌△ ADF ( SAS ), ∴∠ DAF =∠ GAB , AG = AF .
∴∠ DAF +∠ BAE =∠ GAB +∠ BAE =∠ GAE = 45 ° ,
∴△ GAE ≌△ FAE ( SAS ), ∴ GE = EF , 即 BE + DF = EF .
( 2 ) 由 ( 1 )△ GAE ≌△ FAE , ∴ ∠ AEB =∠ AEF .
【题型二 】 90 °外 夹 45 °
例 2 在例 1 的条件下,若 E 在 CB 延长线上, F 在 DC 延长线上,其余条件不变,
证明: ( 1 ) DF – BE = AF ; ( 2 ) ∠ AEB +∠ AEF = 180 °。
证明 : ( 1 ) 在 DC 上截取 DG = BE ,连接 AG .
∵△ AEB ≌△ A GD ( SAS ), ∴∠ EAB =∠ GAD , AE = AG .
∴∠ EAB +∠ BAF =∠ GAD +∠ BAF =∠ FAG = 45 ° ,
∴△ EAF ≌△ GAF ( SAS ), ∴ GF = EF , 即 DF – BE = EF .
( 2 ) 由 ( 1 ) △ EAF ≌△ GAF ( SAS ) , ∴ ∠ AEB =∠ A GD , ∠ AEF =∠ AGF ,
∠ AEB +∠ AEF = ∠ AGD +∠ AGF = 180 ° , 即 ∠ AEB +∠ AEF = 180 ° .
【题型二】 120°夹 60°
【例 3 】已知如图, △ ABC 为等边三角形, ∠ BDC =120° , DB = DC , M 、 N 分别是 AB 、 AC 上的动点,且 ∠ MDN =60° ,求证: MB + CN = MN .
模仿题型一,可解,有问题,可以在下面留言,一起研究!
免责声明:本站所有文章内容,图片,视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成,不代表本站观点,不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益,请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权,请联系删除,如若转载,请注明出处:https://itzsg.com/68214.html