雅可比行列式的实际意义

是谁

在呼唤雅可比

今天小天整理留言的时候，看到有模友留下了这么一条留言：

恭喜你！你被翻牌……哦不，你的愿望实现了

不过在此之前，小天需要先介绍一下他的粑粑——多产堪比欧拉，被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。

卡尔·雅可比

1804年12月10日，卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭，成为家中的老二，父亲（Simon Jacobi）是一位成功的银行家。

雅可比是个聪明的孩子，幼年跟随舅舅学习古典语言和数学，12岁进入波茨坦大学预科学习，不到半年跳级到高年级，甚至在自学欧拉的《无穷小分析引论》后尝试解决五次方程式。（每当此时，小天就十分怀疑数学家的成长套路都是一个模子印出来的）

当时的大学并不接受16岁以下的学生，因此雅可比在1821年才得以入读柏林大学。

雅可比对哲学、数学等领域均怀有浓厚的兴趣，曾磨刀霍霍准备向“全才”发起进攻。奈何数学的磁场实在太强，最终他义无反顾地投奔了数学。（据说是因为数学最难，雅可比才选择它的╮(╯▽╰)╭）

这一投，无疑给数学史添上了浓墨重彩的一笔。

雅可比不仅天赋高，人还特别勤奋，一直不知疲倦地进行着科研与教学，让他年纪轻轻就收获了一堆荣誉。

1825年，获得柏林大学理学博士学位，并留校任教；1827年，被选为柏林科学院院士（同时是伦敦皇家学会会员，巴黎等科学院院士）；1829年，成为哥尼斯堡大学数学系的终身教授，并担任主席15年；

19世纪的数学以单复变函数为主要研究领域，而椭圆函数是其中一颗螺丝钉。1827年，雅可比迷上了它，埋头苦干2年后发表的人生第一篇杰作《椭圆函数理论的新基础》（椭圆函数领域关键性著作），让当时的研究有了质一般的飞跃。

雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，因此被公认为椭圆函数理论独立奠基人。而该理论的出现不仅引进了θ函数，还为推动复变函数理论的发展和n个变量的阿贝尔函数论的产生带来了不可磨灭的影响。

椭圆函数，源自：Wikipedia

紧接着，拘泥于一个领域，已经远远无法满足日益膨胀的欲望后，雅可比开始疯狂扫荡各大数学分支，甚至是物理学分支。

得益于强大运算天赋，他最终在力学和数学物理等应用领域也收获了一番成就。

用于表述经典力学的哈密顿-雅可比理论是唯一可用于量子力学的理论；第一个将椭圆函数理论应用于数论研究的人；是决定因素理论的早期创始人之一；… …

扫荡过程中，行列式理论也沦为了他的囊中之物。而在他发表的著名论文《论行列式的形成和性质》中所引进的函数行列式正是大家熟悉的“雅可比行列式”。

此文标志着行列式系统理论的建成，文中不仅求出了函数行列式的导数公式，还证明了函数之间是否相关的条件就是雅可比行列式是否为零，并给出了该行列式的乘积定理。

若雅可比行列式恒等于零，函数组（u
₁,…,u
_n）是函数相关。

雅可比行列式在多重积分的变量替换中占据着决定性的作用，势必引起人们的全方位关注。

雅可比粑粑：我儿砸就长这样

可以看出雅可比行列式辨识度很高，比常规的行列式长得更有特色，构成元素竟然均为偏导数。

一个多变量函数的
偏导数是指它关于其中一个变量的导数，而其他变量保持恒定。比如：若函数f(x,y)保持x值不变，改变y值可得到对应的f
₀(x,y+△y)。当△x→0时，f
₀-f/△y的极限存在，则可以称该比值为f对y的偏导数，记作：∂f/∂y；同理，保持y值不变情况下的偏导数，记作：∂f/∂x。

众所周知，矩阵和行列式是一对好基友，经常结伴出行。因此在介绍雅可比行列式的定义之前，小天打算先给大家讲讲雅可比矩阵。

假设f: Rn→Rm为一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数，并且由m个实函数组成: y₁(x₁,…,x_n), …, y_m(x₁,…,x_n)。若将该函数的偏导数(若存在)组成一个m行n列的矩阵, 那么这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：

当m=n时，雅可比矩阵妥妥地变成一个方阵，该方阵的行列式则可称为雅可比行列式。

雅可比矩阵重要之处在于它能够体现一个可微方程与给出点（设该点为点A）的最优线性逼近，因此雅可比行列式可用于求解点A的微分方程组的近似解。

如下图所示，映射f: R2→R2将左边的正方形变成右边扭曲的平行四边形，其中右边半透明白色区域是扭曲图形的最优线性近似，而平行四边形面积与原始正方形面积的比值则是雅可比行列式。

图一，源自： Wikipedia

简单来说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响，代表着变换后的缩放比例，而雅可比行列式也不例外。

就拿图一来讲，图中的映射并非线性，但其微元变换实际上可以看做是线性的，因此雅可比行列式实际意义就是坐标系变换后单位微元的比率或倍数。

现在让我们以二维空间为例，看看究竟怎么一回事。

设f=(x,y)，其中x=x(u,v)，y=y(u,v)，可求得
偏导数分别为：

那么函数的
雅可比矩阵为：

那么，
雅可比行列式就是：

还是看图一，假设图中正方形所在的坐标系是uv坐标系，而平行四边形所在的坐标系是xy坐标系，平行四边形的面积微分用dB表示，可得：

今天提到的雅可比行列式只是一阶行列式，大家可以思考一下如何表示雅可比行列式的二阶、三阶形式哦。

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