二次曲线的三种类型判别

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所谓二次曲线(quadratic function curves)，指的是最高次项是二次的曲线方程对应的曲线，它的一般形式是：

它又叫圆锥曲线(conic sections)，因为二次曲线也可以视作切平面切圆锥得到的切面边界曲线，如图：

conic sections

如果把圆（circle）视作椭圆（ellipse）的一种特殊情况，那么二次曲线有三种不同的类型，即椭圆，双曲线（hyperbola）与抛物线（parabola）。

三种曲线还有很有趣的性质，我们一一道来。

椭圆，是到两个点的距离之和为定长的曲线。如图，与的长度和如果是个定值，那么画出来的就是椭圆了。通过这个定义，我们可以得到椭圆方程的一般形式是

.

其中的长度分别是OA与OB的长度，如果相等，则是圆。

椭圆

双曲线，则是到两个点距离之差为定值的曲线。因为规定差为定值，因此双曲线有两支，是彼此对称的。它的一般形式是

.

注意双曲线方程和椭圆方程不同的地方仅在于相差一个符号。

双曲线

抛物线，可以定义为到一条直线(directrix)和一个点(focus)的距离相等的点集。它的一般形式(左右对称的情况）是

.

抛物线

其实，二次曲线的一般形式无论系数怎么变化，对应的曲线无非是椭圆、双曲线与抛物线这三种情况。因为我们可以通过平移与旋转变换，将二次曲线的曲线方程变为三种情况的标准形式之一，而在平移或旋转下，曲线的形状却不会改变，从而我们可以通过这样的变换来判断二次曲线的类型。可是，二次曲线平移与旋转变换也挺麻烦的，有没有更简单的判别方法呢？答案是：有的！我们再看一下二次曲线的一般形式：

定义,我们只需要看的符号就可以判别了。先看看椭圆，双曲线与抛物线的的符号。椭圆的,双曲线的。而这个曲线方程的在平移或旋转变换下的值并不会改变（可以验证，但更好的方法是把二次曲线写成矩阵形式（即二次型）后，看到平移和旋转变换带来的新的二次型矩阵的行列式的值不会改变，而行列式和是成比例关系的。），所以我们可以通过直接计算来判别一般形式的二次曲线的类型了，这样就非常方便。我们举个简单的例子。

例：判别的类型。

解：这里，所以,所以该二次曲线是一个椭圆。