数学是世界上最纯粹的事，世间万物皆藏于数中

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第二章 自然数和人造数

1.最纯粹的数学

数学通常被人们，尤其被数学家，认为是一切科学之皇后，而贵为皇后，它自然不能屈尊于其他的知识分支。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联合会议”上，大卫·希尔伯特被要求发表一次公开演讲，来缓和两组数学家之间的敌对情绪，他这样开场：

“我们经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是相互对立的。这是不对的。这两者过去不曾对立，将来也不会对立。纯粹数学和应用数学不应对立，因为，事实上，两者没有任何相通之处。”

但尽管数学热衷于保持纯粹性，远离其他的科学，其他的科学却喜欢数学，尤其是物理，一直在尝试尽可能地“亲善”数学。事实上，几乎纯粹数学的每一个分支现在都能够被用来帮助解释物理宇宙里的这个或那个现象。其中包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何这样的总是被认为是最纯粹的、最不适宜拿到应用层面的准则。

但是，当今数学还有一个大的系统尚未被发现有任何实际的用途，除了用来模拟一场智力体操，它真的可以荣膺“纯粹之皇冠”，这就是所谓的“数论”（这里是指整数）。它是纯粹数学里最古老的也是最错综复杂的思想产物。

奇怪的是，数论作为数学领域中最纯粹的分支，从某方面来说却是一门经验科学，甚至可以说是实验科学。事实上它的大部分定理都是依靠“用数字去做些什么”来建立的，正如很多物理学定律是依靠“物体去做些什么”而得到的一样。并且同物理学的一些定律一样，数论中的某些命题已经“通过数学方法”证明，而其他的一些仍是纯粹来源于经验，至今仍让最杰出的数学家头疼。

举个有关质数的问题的例子。

质数是不能被除了1和它本身之外的任何数除尽的数，1、2、3、5、7、11、13、17…，都是质数[1]，而例如12就不是，因为它可以被拆分成2×2×3。

质数的数量是无限的，还是存在一个最大的质数，在它以上的任何数都可以表示成质数的乘积呢？欧几里得（Euclid）最先考虑了这个问题，他给出了一个非常简单而优美的证据，证明质数的数目是无穷无尽的，没有所谓的“最大的质数”。

为研究这个问题，我们不妨假设质数是有限多的，并用N表示最大的质数。现在我们将所有质数相乘，然后加上1。我们可以这么写：

（1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1

显然这个数比“最大的质数”N要大多了。但显而易见的是，这个数不能被除了1以外的任何一个质数（直到N）除尽，因为根据创造这个数的方式可以发现，用任何一个质数去除它都会剩下1。

因此这个数要么也是个质数，要么能整除它的质数就比N还要大，这两种情况都与“N是最大的质数”这一假设相违背。

这种证法叫作反证法（reductio ad absurdum），是数学家最爱用的工具之一。

我们一旦知道了质数的数目是无限大的，就会很容易问出口：有没有一种简便的方法能让我们一个不漏地列出所有的质数？

最早由古希腊哲学家、数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）提出的一种实现这个问题的方法，名为“过筛”。在这个方法中，你需要做的是写下完整的整数列表，1，2，3，4，…，然后筛掉所有2的倍数，3的倍数，5的倍数，…。前100个整数经过埃拉托斯特尼的筛之后，情况如图9所示。

这里总共包含26个质数。使用上述的简单的过筛方法，我们已经建立了10亿以内的质数表。

但如果有更简单的方法，只要一个公式，就能迅速而自动地找到所有的质数，而且只有质数就好了。但数个世纪以来，关于这个公式的努力均宣告失败。

1640年，法国著名数学家费马（Fermat）认为他发明出了这样一个能只算出质数的公式。

在他的公式+1里，n取自然数，1，2，3，4，…。

通过这个公式我们发现：

22+1=5

每个算式的结果事实上都是质数。但在费马公布公式约一个世纪之后，德国数学家欧拉（Euler）指出，费马的第5个式子+1得到的结果4 294 967 297不是质数，它是6 700 417和641的乘积。费马的计算质数的经验公式是错的。

另一个值得一提的计算质数的公式是：

n2−n+41

n取1，2，3，等。当n取1~40时，代入得到的结果都是质数，但很不幸，当n取41时就错得离谱了。

(41)2−41+41=412=41×41

得到的是一个平方数，而不是质数。

另一个尝试产生质数的公式：

n2−79n+1601

直到n取79时得到的都是质数，但在n取80时就不行了。

因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今仍未解决。

另一个既未得到证明，也未得到证伪的数论定理的有趣例子，是1742年被提出的哥德巴赫（Goldbach）猜想，即任何偶数都可以表示为两个质数之和[2]。

从一些简单的例子来看，这是显而易见的，比如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但在做了大量的有关这个猜想的工作之后，数学家依旧不能得到确定的证明，同时也无法给出任意一个反例。

在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼（Schnrrelman）朝向最终的证明成功迈出了建设性的第一步——他证明了每个偶数都可以表示为不超过300 000个质数的和。而施尼勒尔曼的“三十万个质数的和”和翘首以盼的“两个质数的和”之间的鸿沟，在不久之后被另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了，他将其缩减到“四个质数的和”。但从维诺格拉多夫的“四”到哥德巴赫的“二”的最后两步似乎是最艰难的，没人知道跨出这两步需要再花几年还是几个世纪的时间。

好吧，我们与一个能自动给出任意大小的质数的公式似乎还遥不可及，甚至我们都没法保证能否推导出这样一个公式。

我们来讨论一个更小一点的问题——在给定范围内的质数的比例有多大？当数字范围越来越大的时候，这个百分比会不会更趋近于一个常数？如果不是，它会增加还是减少？我们可以用经验方法来回答这个问题：直接数数表里的质数。

通过计数我们发现，100以内有26个质数，1000以内有168个，1 000 000以内有78 498个，1 000 000 000以内有50 847 478个。将质数数目除以整数数目，我们得到下表：

这张表首先显示了，当整数范围增大时，质数的相对数量逐渐减少，但没有减少到没有质数的情况。

有没有一种简单的方法可以用数学形式表达这种整数范围增大时质数的比例减少的情况呢？当然有，并且这个有关质数平均分布的规律已经成为整个数学学科领域最引人注目的发现之一。这条规律可以简单表示为：在1到N的范围中，质数所占的比例约等于N的自然对数的倒数[3]。N越大，比例越接近。

上表的第四列是N的自然对数的倒数。如果你将其和前一列的数值做对比的话，你会发现两者之间的差距很小，而且N越大差距越小。

与数论中的其他很多定理一样，上述的质数理论最先是通过经验发现的，在很长一段时间内都没有得到严格的数学证明。直到19世纪末，法国数学家阿达马（Hadamard）和比利时数学家德拉瓦莱普森（de la Vallee Poussin）才终于证明了它，因为证明方法过于复杂，在这里就不赘述了。

提到整数就不得不提到费马大定理，尽管它和质数没有什么必然的联系。这个问题可以追溯到古埃及，那里的每一个好木匠都知道边长之比为3:4:5的三角形必然包含一个直角。事实上古埃及人就将这种三角形——现称埃及三角形——作为木匠的三角尺。[4]

3世纪时，亚历山大里亚城[5]的丢番图（Diophantes）[6]开始思考是不是只有3和4这两个整数的平方和等于另一个整数的平方。他证明了有其他的整数符合这样的性质（实际上有无穷多个），并给出了找到它们的一般规律。这种三边长都是整数的直角三角形现在被称为毕达哥拉斯[7]三角形（pythagorean triangles），埃及三角形是其中的第一个。建立毕达哥拉斯三角形的问题可以简单表示为如下代数等式，其中x，y和z都必须是整数[8]：x2+y2=z2

1621年皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在巴黎购买了丢番图所著的《算数》（Arithmetica）的法文译本，其中就探讨了毕达哥拉斯三角形。他在阅读时，在空白处批注了x2+y2=z2有无限多的整数解，而形如xn+yn=zn的等式，当n大于2时，则不再有整数解。

“我想到了证明这一点的绝妙方法，”费马补充道，“但书页的空白处写不下了。”

费马去世后，这本丢番图的书在他的图书馆被发现，空白处的批注随之举世而闻。

这已经是3个世纪之前[9]的事了，自此之后，各国顶级的数学家都在设法重建费马在空白处写下批注时想到的证明，但直到现在也尚未发现有成功者。

可以肯定的是，数学家在追寻终极目标的过程中已经有了相当大的进展，数论中的全新概念——“理想理论”[10]，也在证明费马理论的尝试中诞生了。欧拉证明了x3+y3=z3和x4+y4=z4这两个方程不存在整数解，狄利克雷（Dirichlet）[11]证明了x5+y5=z5也是如此，经过众多数学家的联合努力，我们现在已经得到n小于269时费马的方程没有整数解的结论。但对任意的n均成立的一般证明尚未得出[12]，而越来越多的人开始怀疑，费马其实并没能做出证明，或者是在他的证明中什么地方出错了。

为获得解法，曾有人悬赏10万德国马克，这使得费马大定理轰动一时——尽管那些冲着金钱而来的业余爱好者并没有获得过什么进展。

费马大定理的确有可能是错误的，只要能找到某两个整数的某一次幂等于第三个整数的相同次幂的反例即可。但考虑到这样的例子要在幂次大于269的情况下找，难度可是不容小觑啊。

2.诡秘的

现在我们来接触一点更深入的算术。

二二得四， 三三得九， 四四十六， 五五二十五，因此，四的算术平方根是二， 九的算术平方根是三， 十六的是四， 二十五的是五。[13]

但负数的算术平方根又会是什么呢？诸如和这样的表达形式有意义吗？

如果你尝试从理性的角度去考虑，一定会毫无疑问地得出结论：上述的表达形式毫无意义。引用12世纪数学家布哈斯克拉（Bhaskara）的话说：“正数和负数的平方都是正数。因此，正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。负数没有平方根，没有负数是平方数。”

但数学家们是固执的，当一些没有意义的东西出现在他们的公式里时，他们会想尽一切办法赋予这些东西意义。显然负数的平方根总是会出现在各种情况中，无论是在困扰过去数学家的简单的算术问题中，还是在20世纪相对论理论框架下的关于时空统一的问题里。

第一位将看似没有意义的负数平方根写入公式的勇士是16世纪意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论“将10分成两部分，使得这两部分的乘积为40”的可能时，他指出，尽管这个问题没有任何正有理数解，但可以用这样两个不可能的数学式表示：5+和 5−。[14]

尽管卡尔丹对这两个算式持保留意见，因为它们是没有意义的、虚构的、想象的，但他还是写了下来。

既然有人敢于写下负数的平方根——虽然这可能是虚构的，但将10拆分成两个所需的部分的问题确实得到了解决。封住负数平方根的坚冰已然被敲开，这个被卡尔丹命名为虚数的平方根正越来越频繁地被数学家使用，尽管这种使用方式总是招致怀疑，或者需要正当理由。

在1770年出版的由著名德国数学家欧拉[15]所著的代数书中，我们找到了更多使用虚数的例子，但是他又留下了这样的评语：“一切形如 、的表达式，都是不可能的，或者说是虚无的，因为它们表达的是负数的平方根，对于这样的数字我们只能断言，它们既不比任何数大，也不比任何数小，它们的组成是虚无的。”

尽管存在这些责难和非议，虚数在数学中还是成了像分数一样不可或缺的存在，如果没有它，数学的发展将寸步难行。

事实上，虚数更像是实数在镜子中的幻象，而且正如所有的实数都可以由基础数字1产生，所有的虚数也可以由虚数单位 产生，我们用符号i来表示这个单位。

如此一来，显而易见地，=×=3i，=×=2.646…i，等，因此每个实数都有其相对应的虚数。你也可以把实数和虚数结合起来，用单一的表达方式，如卡尔丹最先写出的5+，就等于5+i。这种混合体被称为复数。

自闯进数学领域以来，足足2个世纪，虚数仍旧披着神秘莫测、不可思议的面纱，然而，这层面纱最终被两位业余数学家——挪威测绘员韦塞尔（Wessel）和法国巴黎簿记员罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）通过简明的几何表示方法揭开了。

根据他们的表示方法，一个复数，如3+4i，其表示方式如图10所示，其中3表示水平方向的坐标，4表示垂直方向的坐标。

所有的实数（正数或负数）都对应着水平轴上的点，所有的纯虚数都对应着垂直轴上的点。

当我们将一个表示水平轴上的点的实数，例如3，乘以虚数单位i，我们会得到纯虚数3i，对应的是垂直轴上的一个点。因此，将任何实数乘以i，其几何意义都相当于逆时针旋转了90°（图10）。

如果我们再给3i乘以i，那么我们必须再逆时针旋转90°，点的位置又回到了水平轴上，只不过是在负值的一端。因此有：

3i×i=3i2=−3，i2=−1

当然，“i的平方等于−1”这个说法要比“连续两次旋转90°（都是逆时针）你会得到相反的方向”容易理解得多。

混合的复数也同样服从这个规则。将3+4i乘以i我们得到：

(3+4i)i=3i+4i2=3i−4=−4+3i

你立刻就能从图10里看出，−4+3i的点是3+4i的点以原点为中心逆时针旋转90°的结果。同样，任何数乘以−i，也不过是将其所代表的点以原点为中心顺时针旋转90°，这一点也可以从图10中看出。

如果你觉得虚数周围仍然笼罩着诡秘的迷雾，那就用一个包含虚数的简单的实际应用来驱散它吧。

曾有一位爱冒险的年轻人在他的曾祖父的文稿中找到了一卷羊皮纸，里面的内容揭示了一处神秘宝藏的位置。上面的指示说：

“航行到北纬______，西经______[16]，你就能找到一

座荒岛。岛的北岸有一大片草地，其中种着一棵橡树和一棵松树[17]，除此之外你还能看到一个旧的绞刑架，它曾被用来绞死叛徒。从绞刑架的位置开始，向橡树走去，记下走了多少步。到达橡树之后右转90°，再走相同数量的步数，在最后到达的位置钉下一根木桩。然后回到绞刑架的位置，向松树走去，同样记下走了多少步。走到松树之后左转90°，也是走相同数量的步数，再钉一根木桩。在两根木桩的中点挖掘，你就能找到宝藏。”

指示简洁明了，于是年轻人就租了一条船驶往小岛。他找到了小岛，找到了草地、橡树和松树，但让他极度沮丧的是，绞刑架不见了。由于时间太久了，风吹雨打腐朽了木头，将其化为尘土，绞刑架原来所在的位置没有留下任何痕迹。

我们这位爱冒险的年轻人陷入了绝望，这份绝望又进而转化为了狂乱，他开始在草地上到处乱挖。可是无论尽了多少努力都是徒劳的，岛太大了！所以他空手而归，而宝藏可能还在那里。

这是一个伤心的故事，不是吗？但更令人伤心的是，如果他懂一点数学的话，尤其是知道虚数的用法的话，他可能就能拿到宝藏了。

我们来看看能不能帮他找到宝藏，尽管于他而言为时已晚。

假设岛是复数平面，过两棵树画一根轴（实轴），在两棵树的连线中点画垂直于两棵树的连线的另一根轴（虚轴）（图11）。取两棵树之间一半的距离为单位长度，这样我们可以说，橡树在实轴上−1的位置，松树在+1的位置。

我们不知道绞刑架在哪儿，就用希腊字母Γ（大写的gamma）表示它的虚拟位置，因为这个字母长得像绞刑架。既然绞刑架不一定在两根轴上，那么Γ就应当是个复数：Γ=a+bi，a和b的意义在图11中有解释。

下面我们来做一些简单的计算，注意，要记得上文讲过的虚数乘法的规则。如果绞刑架在Γ，橡树在−1，它们之间的距离和方位就可以表示为(−1)−Γ=−(1+Γ)。同理，绞刑架和松树之间的距离则表示为1−Γ。为了旋转这两个距离——一个是顺时针旋转90°（右转），一个是逆时针旋转90°（左转），根据上文的规则，我们必须将其分别乘以−i和i，因而两根木桩的位置如下（图11）：

第一根木桩：(−i)[−(1+Γ)]+1=i(Γ+1)−1

第二根木桩：(+i)(1−Γ)−1=i(1−Γ)+1

因为宝藏在两根木桩连线的中点，我们需要将两个复数加起来乘上，于是有：

[i(Γ+1)+1+i(1−Γ)−1]=[+iΓ+i+1+i−iΓ−1]

=(+2i)=+i

我们发现在这个过程中绞刑架未知的位置Γ已经相消了，那么无论绞刑架在哪里，宝藏必然都在+i的位置上。

因此，如果我们那位爱冒险的年轻人懂得做这么一点点数学计算的话，他就根本不必挖掘整座岛，只需要在图11所预测的位置找寻宝藏即可，宝藏肯定就在那儿。

如果你还是不相信找到宝藏可以不必知道绞刑架的位置的话，你可以在一张纸上标注出两棵树的位置，然后假设几次不同的绞刑架的位置，按照羊皮纸上指示的方法去做。你一定会得到相同的点，那就是复数平面上+i的那个点！

另一个我们依靠−1的平方根这个虚数发掘出来的隐藏宝藏是：我们的三维空间和时间可以被统一进一个四维的图景中，这个四维图景是由四维几何学规律所支配的。我们会在接下来的章节里探讨这个发现，同时我们还将探讨爱因斯坦（Einstein）的思想和他的相对论理论。

[1]　当今数学界认为质数和合数的定义范围是2及以上的整数，1既不是质数也不是合数，但如果不把1算作质数，那下文的内容就无法解释了（译注）。

[2]　哥德巴赫最早在写给欧拉的信中提出的是，任何一个大于2的整数都可以表示为三个质数的和。在现代数学定义1不是质数之后，哥德巴赫猜想的现代形式，是任何一个大于5的整数都可以表示为三个质数的和。本文提到的猜想是经欧拉进一步思考后提出的等价版本，又名“关于偶数的哥德巴赫猜想”，或“强哥德巴赫猜想”（译注）。

[3]　简单来说，自然对数可以被定义为常用对数（log10N）乘以2.3026。

[4]　在小学几何中，毕达哥拉斯证明了这一点：32+42=52。

[5]　亚历山大里亚城：即现在的亚历山大城（译注）。

[6]　丢番图：古希腊数学家，最先使用符号来代替文字表达，并在数论、代数方程解法等方面均有重要贡献。代表作：《算数》（译注）。

[7]　毕达哥拉斯（Pythagoras）：公元前580年—前500（490）年，古希腊数学家、哲学家，主要成就有毕达哥拉斯定理（勾股定理）等（译注）。

[8]　根据丢番图的一般规律（取两个数a和b，使得2ab是完全平方数。x=a+，y=b+，z=a+b+，然后就有x2+y2=z2，这用普通的代数很容易验证），我们可以建立一个包含所有解的表，开头几个如下： 32+42=52（埃及三角形）

52+122=132

62+82=102

72+242=252

82+152=172

92+122=152

92+402=412

102+242=262

[9]　本作成书于20世纪，故原文为“3个世纪之前”。后文中的类似内容不再作批注（译注）。

[10]　理想理论是抽象代数中环论下的一个理论，因较为复杂，有兴趣的读者可以自行研究，建议从抽象代数的基础，如群论开始慢慢了解（译注）。

[11]　狄利克雷，德国数学家，科隆大学博士，历任柏林大学和格廷根大学教授。柏林科学院院士。是解析数论的创始人，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献。主要著作有《数论讲义》《定积分》等（译注）。

[12]　1995年，英国著名数学家安德鲁·怀尔斯完成了费马大定理的证明，所以下文的内容已经没有意义了（译注）。

[13]　其他数字的平方根也很好计算。例如=2.236…，因为2.236…×2.236…=5；=2.702…，因为2.702…×2.702…=7.3。

[14]　证明如下：

(5+)+(5−)=5+5=10，

(5+)×(5−)=(5×5)+5−5−(×)=

(5×5)−(−15)=25+15=40

[15]　现资料显示数学家欧拉为瑞士人。但他曾就职于柏林科学院，在德国生活了25年，并在此期间出版了他最著名的两部作品——《无穷小分析引论》和《微积分概论》（译注）。

[16]　经度和纬度的实际数值在文稿中是给出的，但本文将其隐去，以免这个秘密被传播出去。

[17]　基于上述理由，树的种类也被替换了。显然热带的藏宝岛屿上会有很多种类的树。