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三角形内角和外角平分线定理及其应用
1.三角形内角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的平分线内分对边之比。
如图1，在△ABC中，若AD为∠BAC的平分线，则 AB/AC=BD/DC。
证法1：详见图2。
证法2：详见图3。
2.三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。
如图4，AD为△ABC的外角CAE的平分线，则 AB/AC=BD/DC。
证法1：详见图5。
证法2：详见图6。
大家对角平分线定理应该比较熟悉，而对三角形外角平分线定理相对比较生疏，下面举2例说明上述定理在具体实践中的应用价值。
例1：如图1，在△ABC中，AD为角平分线，CE⊥AD于点E，∠ACE=2∠BCE，CD/BD=2/5，若AC=m，则CE的值是多少（用含m的代数式表示）？
解题思路：当遇到有垂直于角平分线的线段时，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形CAF（图2），AC=AF=m，AE为CF的垂直平分线，
AE=1/2 FC。
因∠ACE=2∠BCE，易证△FBC亦为等腰三角形，
FC=FB=AB-AF= AB-m。
根据角平分线定理：
AC/AB=CD/BD=2/5，
AB=5/2 m，
FC=FB=AB-AF=5/2 m –m=3/2 m。
AE=1/2 FC=3/4 m。
例2：如图1，AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线。求证：1/BD+1/BE=2/BC。
解题思路：本题采用逆推法，先假设求证的结论成立：
1/BD+1/BE=2/BC，等式两边乘以BC得：
BC/BD+BC/BE=2，
（BD+DC）/BD+（BE-CE）/BE=2，
DC/BD= CE/BE。
根据三角形内角和外角平分线定理，上述结论是成立的。具体证明过程简述如下：
由AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线可得：
AB/AC=BD/DC=BE/CE,即
DC / BD = CE / BE，再根据线段等量代换将DC、CE与BC联系起来（DC=BC-BD，CE=BE-BC）：
（BC-BD）/ BD=（BE-BC）/ BE，
BC/ BD+BC/ BE=2，
1/BD+1/BE=2/BC成立。
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