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文|海员老余

编辑|海员老余

前言

燃烧等离子体中，高能量粒子对背景等离子体的加热对于氘氚聚变的自持燃烧起着至关重要的作用，但一般情况下，高能量粒子通过碰撞效应往往更容易优先将能量转移给背景电子，这不利于加热背景离子和维持聚变反应。

为此，需要研究高能量粒子和波以及等离子体不稳定性的相互作用，来实现间接加热离子或者驱动等离子体电流的目的，即首先将高能量粒子能量转移给波，再通过波和背景离子的相互作用将能量进一步转移给后者，从而使得托卡马克能运行在热离子模式下。

此外，高能量粒子也容易共振激发剪切阿尔芬波等不稳定性，影响高能量粒子和背景等离子体的约束，进而影响氘氚聚变效率，等离子体往往具有极高的电导率，且伴随着极强的集体行为，主要受长程电磁力影响，因而容易产生大尺度的波和宏观不稳定性。

高能量粒子可以显著影响磁流体不稳定性，本文主要研究高能量粒子与剪切阿尔芬波和磁流体不稳定性的相互作用，主要包括波与粒子共振相互作用、剪切阿尔芬波不稳定性和高能量粒子对剪切阿尔芬波不稳定性的驱动。

波与粒子的相互作用

托卡马克平衡磁场位型下，带电粒子的未扰动轨道可以用三个守恒量来描述，分别是粒子的磁矩、能量和环向正则角动量，然而，当托卡马克中存在不稳定性产生的扰动场时，粒子的ε和Pφ的守恒性会被破坏。

此外，CLT-K程序采用的是磁流体-漂移动力学混合模型，因此使用了μ为绝热守恒量的条件，从而忽略高能量粒子的拉莫尔-回旋运动，这样，粒子分布函数在三维相空间的演化可以降到二维。

当托卡马克中存在一支环向模数为ｎ的低频不稳定性模式时，Pφ和ε的组合，ε＇=ε-ωPφ/n为一个新的守恒量，托卡马克中，只考虑粒子的导心漂移运动的轨道特征，背景粒子可分为通行粒子和捕获粒子，而高能量粒子除了通行和捕获，还包括停滞粒子和土豆粒子等。

下图展示了二维相空间{μB0/ε，Pφ}中DIII-D托卡马克中性束粒子轨道的分类,其中，通行粒子的平行速度相对于垂直速度较大，粒子相对于磁力线的投掷角Λ—般小于1，即Λ≡μB0/ε﹤1，使得垂直动能始终小于总动能。

因此其平行方向的速度始终大于零，粒子的环向运动方向不会发生反转，且粒子轨道较大，可以跨过磁轴，由于μ的守恒性，通行粒子的平行速度在弱场侧较大，在强场侧较小，此外，通行粒子可以分为同向通行和反向通行，如下图（a）所示。

一般同向通行粒子的平行速度方向与环向等离子体电流方向一致，其漂移轨道整体向弱场侧偏移，而反向通行粒子的平行速度方向与环向等离子体电流方向相反，其漂移轨道整体向强场侧偏移，通行粒子整体沿着磁力线运动，其运动方式称为渡越运动。

另一类主要的粒子轨道为捕获粒子，捕获粒子的平行速度相对于垂直速度较小，因此投掷角一般大于或接近1，当捕获粒子从弱场侧向强场侧运动时，由于磁场增强，其平行速度减小到零，随后发生反转，粒子环向沿反向运动。

捕获粒子的轨道无法跨过磁轴，形成捕获粒子轨道，捕获粒子轨道由于其形状类似于香蕉，也被称为香蕉轨道，捕获粒子的运动可以分解为极向的香黨形反弹运动和环向的进动，此外，托卡马克中还存在停滞粒子和土豆粒子。

其中停滯粒子的平行速度始终和环向等离子体电流方向一致，即类似于同向通行粒子，但平行速度较小，粒子轨道未跨过磁轴，始终在弱场侧运动，而土豆粒子和捕获粒子类似，会存在平行速度反转的反弹点，但由于其轨道宽度较大，跨过磁轴。

波-粒子共振条件

存在剪切阿尔芬波等不稳定性产生的扰动电场δE情况下，粒子的能量变化主要由波-粒子的非绝热共振机制导致，粒子与波的能量交换主要通过Zev·δE产生，其中v为粒子的运动速度。

由于在本文的模型中忽略了粒子的回旋运动，粒子的速度v主要由漂移速度vd提供，而在剪切阿尔芬波和其他理想磁流体不稳定性中，平行于磁场方向的电场扰动δE||几乎为零，扰动电场主要由δE⊥贡献。

从而可以把波与粒子相互作用中粒子的能量变化写为：

其中下标j表示{r，θ，φ}坐标系下的不同方向分量，ej表示ｊ方向单位矢量，ｎ和m分别表示不稳定性的环向和极向模数，由于托卡马克极向的不对称性，粒子的漂移运动可以在极向进行傅里叶分解，即：

粒子运动过程中感受到的扰动电场对其能量的影响表示为：

对于托卡马克中的捕获粒子，ωφ为其环向的进动频率，ωθ为其极向的反弹频率，而对于通行粒子，ωφ等于其环向渡越运动的渡越频率，ωθ为其极向周期性运动的频率，也可以和捕获粒子类似地称作反弹频率。

剪切阿尔芬波不稳定性

磁流体力学波托卡马克等离子体中主要存在宏观和微观两类不稳定性，微观不稳定性主要包括背景离子和电子回旋半径尺度的漂移波湍流等，会影响等离子体的约束和输运，而宏观不稳定性往往伴随着等离子体的集体响应，导致磁面的大尺度形变或破坏。

降低托卡马克的整体约束性能，并限制托卡马克的运行参数，宏观不稳定性空间尺度一般远大于背景离子的回旋半径，频率一般远低于离子回旋频率和等离子体离子振荡频率因此通常可以忽略背景粒子的动理学效应，适合用磁流体力学来描述。

磁化等离子体中剪切阿尔芬波和其他几支磁流体力学波线性色散关系的推导可以从理想磁流体方程组出发，考虑最筒单的情况，假定等离子体初始为均匀无界、准中性、可压缩、无粘滞，以及绝热的静止理想导体流体，且存在稳定的磁场，采用高斯单位制，满足：

由于平衡量对时间和空间都无依赖，扰动量写成关于频率和波矢的平面波波动形式，得到：

剪切阿尔芬波的色散关系中，其波矢平行于磁力线，相速度等于vA其扰动速度、扰动磁场以及扰动电场都垂直于平衡磁场和波矢，因此是横波，如下图所示，剪切阿尔芬波的传播产生磁力线的弯曲，并由于磁冻结效应。

磁力线的弯曲产生的磁张力提供垂直于磁力线方向的恢复力，使得扰动沿着磁力线传播，此外，剪切阿尔芬波是不可压缩波，一般不会产生密度和压强的扰动，托卡马克等磁约束等离子体，一般满足低-β条件。

压缩阿尔芬波的传播方向主要垂直于磁力线，速度扰动量也主要和其传播方向一致，而磁场扰动主要为平行于b0的扰动（垂直于传播方向），电场扰动垂直于传播方向和b0，且是可压缩波，会产生密度和压强的扰动。

如上图（a）所示，压缩阿尔芬波的波动形式主要为磁力线的疏密/强度变化和等离子体压缩在垂直于磁力线方向的传播，如图（b）所示，声波的速度扰动和传播方向平行于磁力线方向，其本质为等离子体平行于b0方向的惯性和等离子体可压缩性的平衡。

压缩阿尔芬波和声波都是纵波，在托卡马克等封闭离子体系统中，压缩等离子体往往会提高系统的势能，需要做正功，因此可压缩的等离子体运动通常是相对稳定的，而剪切阿尔芬波这样的不可压缩波。

由于其波矢在平行于磁力线方向，与粒子的最低阶轨道的运动方向相同，因此更容易被托卡马克中速度接近vA的高能量粒子或者外加天线激发，从而产生集体性的等离子体振荡行为，因此剪切阿尔芬波是托卡马克中最危险的模式之一。

托卡马克中的剪切阿尔芬波不稳定性

具有轴对称性质的直柱位型磁化等离子体，平衡磁场主要在轴向，剪切阿尔芬波垂直于平衡磁场方向的特征尺度为a/n，平行于平衡磁场的特征尺度为R0，这里我们主要讨论高模数的剪切阿尔芬波。

这是因为在非均句等离子体中，平衡的不均匀性会导致剪切阿尔芬波和压缩阿尔芬波耦合在一起，而高-n的假设是为了将剪切阿尔芬波和压缩阿尔芬波从时间尺度上解耦,从准中性条件和平行安培定律出发，可以得到：

而垂直扰动电流则可以从动量方程的垂直方向力学平衡得到：

在高n条件下，剪切阿尔芬波时间尺度远大于压缩阿尔芬波，故系统在垂直于b0方向基本满足平衡条件，可以得到如下形式的滿量方程。

涡量方程一般性地描述了低-β和轴对称的非均句磁化等离子体系统中的高-n剪切阿尔芬波，将其应用于不同的等离子体位型，例如直柱位型或者托卡马克，即可得到相对应的剪切阿尔芬波的色散关系。

直柱位型下的剪切阿尔芬波，首先考虑简单的柱位型情况，假设扰动电势满足：

对于本征值问题，我们将-ω2替换为∂2/∂t2即可转化为初值问题，对其求解可以得到扰动电势的含时演化关系满足：

当方程的二阶导数系数为零时，解存在奇异性，对应的ω=ωA构成径向的剪切阿尔芬波连续谱，尽管在推导涡量方程时用了高-n近似，但方程的结果是更加广义的，并不受高-n条件的限制。

方程描述在非均匀等离子体中剪切阿尔芬波由于在不同位置以各自的连续谱频率振荡造成相混，使得扰动电势振荡随时间以1/t的规律衰减，形成无碰撞的连续谱阻尼。

由于连续谱阻尼造成的剪切阿尔芬波衰减速度正比于连续谱的径向梯度氏∂rωA（r），在连续谱的极值处，剪切阿尔芬波可以避免受到连续谱阻尼，并形成剪切阿尔芬波的本征模式，即所谓的阿尔芬本征模。

在直柱位型下，因等离子体密度等参数在径向的不均匀性，可形成局部的剪切阿尔芬波连续谱极值点，在连续谱极值点附近可以存在全域阿尔芬本征模，类似的，若安全因子在径向范围非单调变化，存在极小值点，连续谱极值点还可以存在反剪切阿尔芬本征模。

在托卡马克这样的环位型磁化等离子体中，由于环向磁场在极向存在强弱变化，因此直柱位型系统θ方向的对称性被破坏，造成不同m的剪切阿尔芬波互相耦合，从而m不再是描述该环位型系统的好量子数，而环向的对称性仍然存在，因此ｎ仍然是好量子数。

考虑托卡马克等环位型装置，其本征方程相比于柱位型下的方程会多出一项环效应的贡献项，即：

方程（组）右端的最后一项描述了环位型下，不同m的剪切阿尔芬波存在互相耦合，对于给定的模数m,n，若我们考虑一个半有理面满q0=（m+1/2）/n，则在柱位型下，根据连续谱方程，该有理面上存在两支相邻奇异解。

而考虑方程（组）最后一项的环效应贡献后，附近的连续谱会产生间隙，简单起见，我们只考虑方程（组）由两个解组成的二元常微分方程组，令解二阶导∂2/∂r2的系数构成的矩阵行列式为零,即可得到奇异性的模结构解.

对应的ωA（r）由柱位型的两支相交的m和m+1连续谱变为两支独立的ωA+和ωA-连续谱，即构成环位型下的剪切阿尔芬波连续谱，满足:

环效应导致的剪切阿尔芬波连续谱如下图实线所示，在图中虚线所对应的连续谱间隙内，可以存在离散的剪切阿尔芬波本征模式，被称为环阿尔芬本征模（TAE），而图中所示环效应产生的频率间隙也被称为TAE间隙。

间隙内TAE的本征频率和模结构可以通过打靶法或者本征矩阵法求解方程（组）得到，半有理面处的TAE的模结构主要由m和m+1耦合而成，两个解的两支剪切阿尔芬波相向传播，并在TAE间隙处形成束缚态。

TAE和TAE连续谱间隙的产生机制主要是由于环向磁场在极向的周期性变化，对于圆截面托卡马克，环向磁场强度反比于大半径，剪切阿尔芬波的相速度，即阿尔芬速度在极向存在一个周期性的变化，进而导致了剪切阿尔芬波出现布拉格反射现象。

这一现象类似于在光子晶体或者光纤光栅中由于折射率的周期性变化导致的电磁波相速度的周期性变化，而这一折射率的周期性变化会产生布拉格反射和频率间隙/带隙，间隙对应的频率也就是布拉格频率。

阿尔芬本征模由于连续谱局域的极值点，导致连续谱阻尼减弱或者消失而产生，剪切阿尔芬波和声波的耦合会导致剪切阿尔芬波连续谱有理面对应的ω|q=m/n=0向上抬升，从而在TAE间隙以下低频段打开一个新的剪切阿尔芬波间隙。

在这个间隙内由于连续谱径向梯度接近零，连续谱阻尼弱，从而可以存在剪切阿尔芬波的本征模式，被称作压缩阿尔芬本征模，随着托卡马克等离子体比压的升高，原先不稳定的TAE会由于本征频率的下降而最终嵌入连续谱内，并由于连续谱阻尼而被致稳。

但在这种较高的等离子体比压参数下，BAE往往容易被高能量粒子激发，从而对背景等离子体和高能量粒子的约束和能量转移产生影响，下表总结了托卡马克以及仿星器等装置中出现的主要几类阿尔芬本征模及其相应的特点和产生机制。

笔者观点

笔者认为，剪切阿尔芬波的不稳定性是一个非常有趣和重要的研究领域，理解和控制等离子体中的不稳定性可以帮助我们深入了解等离子体中的相互作用过程，并为我们设计和优化等离子体设备提供指导。

剪切阿尔芬波的不稳定性研究，对于推动高能量粒子物理和等离子体物理学的发展具有重要意义，通过深入研究和理解不稳定性的机制，我们可以更好地理解自然界的基本规律，并为相关技术和应用领域提供指导。

参考文献

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