002集合论与戴德金分割——自学微积分

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形式主义

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1，猜一个答案证明存在性，唯一性交给数学家

2，存在性：验证公理系统无矛盾，有实际意义，避免空谈

3，唯一性<=>“若存在则唯一”：避免多解的歧义，为后续概念带来确定性

集合论

集合论的基础地位，近代数学各个分支，都可以看做集合论的特例

模型论，调和形式主义公理系统与集合论

集合就是一堆没有次序的对象，一开始是朴素集合论

2.1，概括公理和罗素悖论

2.2，朴素集合论结构

2.3，ZFC集合公理

为了保证集合唯一性提出了外延公理，推论是集合元素不重复且无序

为了绕开罗素悖论提出了分离公理，推论是定义了空集，交集，差集和子集

为了将集合变大，提出了并集公理

为了确保集合不仅仅是空集，且能够无限生成任意元素个数的集合，提出了幂集公理，推论是有限集合

为了构造无限集合，提出了无穷公理

为了避免分离公理进化成概括公理，防止罗素悖论，提出了正则公理

为了创建有序对，构造有顺序的集合结构，提出了配对公理

为了构造等价的新集合，满足相等公理中的替换公理，提出了替换公理

为了证明无限集合存在性问题，提出了选择公理

2.4，二元关系

2.4.1，等价关系

2.4.2，等价类

2.4.3，商集

2.4.4，不变量

2.4.5，偏序关系

2.4.6，函数

2.5，集合的基数（势）

2.5.1，Peano axioms

2.5.2，集合的基数

将作为序数的peano定义的自然数用集合的大小（基数）进行同构，用集合论的相关性质作为实数域上的推理基础，形式统一，推理方便

3，定义实数

有理数的稠密性

有理数不具备完备性，即有理数之间有缝隙

定义实数的指标

3.1，戴德金划分

3.2，有理数的戴德金划分

3.3，定义实数

3.3.1，戴德金定理证明

3.4，实数运算法则，略