联合分布函数和复合函数分布概念之间的区别

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本文通过一个例子来区分二维联合分布函数和复合函数分布概念之间的区别，先看一下分布函数：

图1

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再看一下复合函数的分布函数概念：

图2

注意到图1和图2的积分上限，当求F(x)的时候上限是x,当求F(y)的时候上限是y。其积分范围是一条直线。对于分布函数，F(x)与F(y)中的x,y代表的都是一个范围，而且本身就是积分上限。

然后回顾一下二维联合分布函数：

图3

图4

图5

同样，联合分布函数F(x,y)中的x,y代表的也是一个范围，而且本身就是积分上限，其积分范围是一个面积。而联合概率函数f(x,y)中的x,y都是一个固定的值。

边缘分布函数：

图6

边缘分布函数F(x)与联合分布函数F(x,y)对比，区别在于前者的y是整个定义域，而两者的x都是一个范围。

边缘概率密度：

图7

上图表明，边缘概率密度中，要么x固定，y是全部定义域；要么y固定，x是全部定义域。也就是说，边缘概率密度的积分范围也是一条直线，这条直线要么x固定，要么y固定。

这有点类似于

一个是求某一排的人数，一个是求某一列的人数。

图8

复合函数的分布函数与概率密度：

图9

从上面的求解过程可以看出，当求F(y)的时候，积分限要由y来表示。

对比二维分布函数：

同样假设

那么

的结果是0，因为y的积分限是从x^2到x^2,也就是说，当x 固定的时候，y的范围是不变的。从图9可以看出，y=x^2是一条曲线，而F(x,y)要求的是面积，而一条曲线的面积当然是0。

其实，这种情况下，只要y和x存在任何的函数关系，其分布函数都是0。