高中数学知识——指数与对数

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实数指数幂的运算法则

• 同底数幂相乘：
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• 幂的乘方：
• 积的乘方：

对数

对于方程,由，可得x=3。那么如果，怎么表示x呢？

一般地，如果 a（a > 0，且 a≠1）的 b 次幂等于 N，即，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b = logₐN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数log₁₀N通常简写为lgN。

自然对数：以e为底的对数称为自然对数，自然对数logₑN通常简写为lnN。

• 指数式 和对数式 b = logₐN 是等价的。
• 真数 N > 0，因为在指数式 中，当 a > 0 时， 恒大于 0。

对数运算法则

logₐ(MN) = logₐM + logₐN（a > 0，a≠1，M > 0，N > 0）

证明：设 logₐM = p，logₐN = q，根据对数的定义可得 。

，logₐ(MN) = p + q，即 logₐ(MN) = logₐM + logₐN。

logₐMⁿ = nlogₐM（a > 0，a≠1，M > 0，n ∈ R）

证明：设logₐM = p，由对数定义得 。

那么。

所以 logₐMⁿ = np，即 logₐMⁿ = nlogₐM。

= logₐM – logₐN（a > 0，a≠1，M > 0，N > 0）

证明：设 logₐM = p，logₐN = q，由对数定义得。

则 。

所以 logₐ(M / N) = p – q，即 logₐ(M / N) = logₐM – logₐN。

换底公式：将不同底数的对数转换为相同底数。

(其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1)

证明：设 logₐb = x，则。

两边取以 c 为底的对数:

练习题

1、

解题思路：

先根据幂的运算法则将进行变形，再将代入变形后的式子进行计算。

2、用 logₐx，logₐy，logₐz 表示logₐ(xy² / z)

解题思路：

根据对数的运算法则

logₐ(xy² / z) = logₐ(xy²) – logₐz = logₐx + logₐy² – logₐz = logₐx + 2logₐy – logₐz