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单调有界数列必有极限：
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这个定理的证明用到了如下定理：
柯西定理的意思大概可以这样理解：an，am可以是数组中下标相隔很远的两个点，但只要这个数列是收敛的，同时这两个点的下标同时大于某个数字N，其实就是这个数列已经延申了足够远，那么这两个点的间隔就是无穷小，实际上就是无法区分，也就是对于这个数列来说，如果有某个数字N出现，在aN以后的数字将无法区分大小，那这个数列就是收敛的。
区间套有如下定理：
这个定理就是假设有一个闭区间，这个闭区间的长度不断缩小，那么这个区间最终将变成一个点，也就是所谓的区间套。
区间套定理通过前面的定理很容易证明。
上述证明只要画出下图就可以了：
其中上确界是因为an和bn的极限就是M，然后得到证明的结论。
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