[高等数学]- 不等式专题之一 – Young’s, Holder, Minkowski 不等式等

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[高等数学]-不等式专题之一：

Young不等式Holder不等式Minkowski不等式等

前言：本文重要贡献是给出了一个不等式组的关系结构图，清晰显示了各不等式之间的继承与演化关系，对掌握不等式组将有极大帮助；其次用表格清晰表示了每个不等式等号成立的条件；另外对全部不等式都给出了简要的证明。

目录

1. 加权平均值不等式 (Chebyshev)
2. 杨氏不等式 (Young)
3. 赫尔德不等式 (Hölder)
4. 闵可夫斯基不等式 (Minkowski)
5. 琴生不等式 (Jensen)

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正文

0 加权平均值不等式 (Chebyshev)

加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式): 对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数,并且 w1 + w2 + w3 + ⋯+ wn = 1,有以下不等式成立:

证明 对（1）两边取对数得

于是 (1) ⇔ (2)

∵ ln(x) 是上凸函数, 由琴生不等式可得（2）成立。

∴ (1)成立。证毕。

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1 杨氏不等式 (Young)

杨氏不等式（Young‘s Inequality）又称Young不等式 ，是加权算术-几何平均值不等式的一种特例，杨氏不等式也是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。

推广

证明

方法1

由加权均值不等式得

证毕。

方法 2

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2 赫尔德不等式 (Hölder)

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德（Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是利用杨氏不等式。

证明 赫尔德不等式左边除以右边公式得,

证毕。

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3 闵可夫斯基不等式 (Minkowski)

证明 1/p+1/q=1 , (p-1)q=p ,

用裂项法，

两边同取p次方得

证毕。

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4 琴生不等式 (Jensen)

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。

琴生不等式在证明不等式中发挥了巨大的作用。它实质上就是对凸函数性质的应用，它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系，能够很好的为高中数学压轴证明题服务。 [3]

图1 不等式组关系结构图

表1 不等式取等号条件

注1：不同数学教材对凸函数的定义是不同的。函数图像有上凸下凸之分，同济大学出版的高等数学把下凸的称为凸函数，而有些教材把上凸的称为凸函数。为了避免歧义，本文术语使用上凸函数。

参考文献

1. 百度百科.”杨氏不等式”，“赫尔德不等式”，“琴生不等式”
2. 豆包APP. “闵可夫斯基不等式等号存在的条件”

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