线性变换的特征

我们主要以二维线性变换为例，展现线性变换的特征理论。二维的好处除了非常直观、方便展示之外，还可以结合复数去理解，所以请有兴趣的读者浏览回顾上一期文章《莫比乌斯变换与正切函数》（点击标题查看文章）。

一、从定义开始

1.印象

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

2.定义

线性变换是从平面到平面的映射：

其形式如下：

如果写为矩阵形式则更为简洁：

在本文我们暂时不去区分线性变换和其所对应的矩阵。形式上的定义或许让人有些费解，从性质出发的定义则更能窥探其本质：

❝

「线性变换的性质定义」对任意向量
满足以下性质的称为线性变换：

• 
  ；
  
• 
  .
  

❞

特别地，我们中学学过的正比例函数
就是最简单的线性映射。

由以上性质第一条可以立即推出「零向量的像必定是零向量」：

或者依据第二条：

3.举例

• 位似变换是线性变换。
  

• 压缩变换是线性变换。
  

• 旋转变换是线性变换。
  

• 以上三种变换的复合也是线性变换。
  

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4.几何性质

❝

设
是线性变换，则以下命题成立：

• 「1」 两直线平行经过
  
  变换后仍变为两平行直线。
  
• 「2」 两平行线段之比是
  
  的不变量。
  
• 「3」 两封闭图形的面积之比是
  
  的不变量。
  

❞

只需要依照定义证明计算即可。第3点可以先证明对于三角形成立，然后再利用内接三角形逼近任意封闭图形面积。事实上，第3点是第2点的推论，可以利用祖暅原理说明，留给读者自己思考。

我们借用一道圆锥曲线的题目去熟悉线性映射的性质。

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「例题」 如上图，椭圆上的弦
垂直于椭圆长轴，
，
，则两弦平行，即

「证」 我们沿椭圆短轴方向，将椭圆拉长为正圆（滑动上图），由前面的叙述可知，这是一个线性变换。由线性变换的性质，我们只需证明在圆中两弦平行即可（读者请思考为什么）。由圆周角定理：因为
，所以点
是弧
和
的中点，连接点
与圆心
，由垂径定理可知
，于是

二、特征理论

5.特征思想下的线性变换

对于二维线性变换，只需要知道两个不共线的向量的取值，就可以决定一个线性变换。这是由「平面向量基本定理」所决定的：任取两个不共线的向量
，则对于平面上的任意向量
，都存在两个实数
有如下等式成立

我们称
被向量
线性表示。已知线性映射
在
上的取值，则由线性映射的性质：

回到原动图，我们发现红色的指针和蓝色的指针存在共线的情况，我们把指针同向、反向视为一种情况，则这样的现象一共会发生两次，在两条直线上。共线意味着什么呢？设红色向量是
，与之共线的蓝色向量设为
，于是由映射关系：

其中
称为
的「特征值」，
称为
的「特征向量」。

结合我们前面的分析，如果我们知道一个线性映射的两个特征向量
以及特征值
，那么任意向量
都可以被这两个向量线性表示
（通过调整系数），于是线性映射的像
会有异常简洁的形式：

这符合我们前面对于图像的观察：沿着两个方向上的伸缩，导致圆变为椭圆。

所以，我们该如何求一个线性变换的特征值与特征向量呢？

6.逆变换与逆矩阵

我们说一个变换可逆，是指存在一个逆变换，使得两者的复合是恒等变换。所谓恒等变换，即
用矩阵表示即是

其中
表示恒等变换所对应的单位矩阵

上文在介绍线性变换时我一直避免谈论退化的情形，即
不是满射，等价于
不可逆。例如

事实上，我们可以试着解出来一个矩阵可逆的充要条件，或者说逆矩阵公式。这对于二维矩阵是很容易的事情——当然这只是低维的幸运。

我们看到，分母
是可逆的充要条件，记
，我们称之为「行列式」。

行列式的几何意义是将单位正方形变换为平行四边形的有向面积。在微积分中，换元积分中的Jacobi行列式，正是坐标变换的切映射，它是一个线性变换。在计算定积分（面积）时，我们需要考虑坐标变换在局部出现的伸缩效应：一个无穷小的正方形被压缩为无穷小的平行四边形。这都是一脉相承的思想。

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行列式不为零也是如下方程组有唯一解的充要条件：

这正是上文第一小节中
的形式定义，可见方程组和线性变换一体两面。

通过解上面的方程组，我们可以得到一个基本且重要的结论：

「若矩阵
的行列式
，则
」

成立的理由是以下条件的等价性：

• 
  可逆；
  
• 
  是双射；
  
• 
  ；
  
• 以下方程组有唯一解：
  

这四点同时是对该小节的总结。

这个命题的逆否命题下文将会用到：

❝

若
，则矩阵不可逆，即

❞

7.特征方程

我们约定特征向量
必须是指非零向量，但是矩阵
却把一个非零向量变成一个零向量，这由我们刚才得到的结论立即可知，矩阵
的行列式为零。我们把如下方程称之为「特征方程」——

拜低维所赐，这个方程在二维的情况很容易求解：

其中
称为「迹」。特征方程的判别式为
，我们分别讨论根的各种情况对应的变换：

• 当
  时，即此时有一对实根。两根互异的情况就如同本文开篇的动图一样，仔细观察两个运动的指针在两直线共线；下图则是重根的情形，两个运动的指针只在蓝色特征向量所在直线共线。

• 当
  时，即此时有一共轭的复根。这说明不存在实特征向量的实数倍的伸缩变换，那么一定是发生了旋转！上一篇文章《莫比乌斯变换与正切函数》中（点击标题查看文章），利用球极投影将复平面上的莫比乌斯变换可视化，其等价为黎曼球面上的旋转和伸缩。

区别于第一幅动图，上图对应的是

的情况，也就是说特征方程有两个复根。我们看到随着红色单位向量的转动，蓝色单位向量也在同向转动，并且两者始终保持一定范围的角度，于是两者任何时刻都不可能共线——从几何直观上我们一眼就可以分辨无实特征根的情况。

8.高维线性变换

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在理解二维线性变换的前提之下，三维乃至高维线性变换是类似的。上图展示了单位球体经过线性变换后的像，是一个椭球体。

参考文献

[1] Thristan Needham. 复分析:可视化方法[M]. 人民邮电出版社, 2009.

[2] 梅向明. 高等几何(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2000.