余弦函数图像与性质

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

同学们好，这节课来讲余弦函数的图像和性质。上节课来学习了正弦函数y等于3x图像和性质。回忆一下正弦函数在0到2π上的图像，在做图的时候一般先画出0到2π类的图像，然后再把它不断的向左右平移，每次都平移2π的单位，这样就可以得到整个正弦函数的图像了。

余弦函数能不能也用同样的方法来研究？先用秒点法做出余弦函数y等于x3x在0到2π上的图像。首先能力列表，这是一些特殊角的余弦值，一个是0，对应的就是1，扩散于0等于1，所以第一个点0，再就是2分之π0，所以第二个点就是2分之π0，第三个就是π负一，第四个点就是2分之3π0，第五个点就是2π-2π1，这就是余弦函数的五个点。

把这五个点写出来，描出来就是0，1，2分之π0，π负一，after3π0，2π1，就是这个红色的这五个点，这是2π-1，这个是2分之3π0，这个是2π1。把这五个点用光滑的曲线连接起来，这就是正弦函数y等于扩散x在0到2π类的图像用五点法做出来的图像。

把这个图像向左边和右边平移就可以得到整个余弦函数y等于扩散x，x属于全体实数范围内的图像。大家观察一下这个图像跟正弦函数图像是不是非常相似？对，它也是一个相同的波浪起伏周周而复始的连续的光滑曲线。

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

正弦函数图像来看一下这个红色的虚线就是正弦函数，蓝色的就是余弦函数y等于扩散一次图像。没有发现把正弦函数图像向左边平移2分之π，2分之π的单位长度就可以得到余弦函数。比如这里0，这些函数0，0往左边平移2分之π，就得到4分之π0，这就是余弦函数的图像的一个点。

所以把正弦函数观察一下，把它往左边平移2分之π一个档位就可以得到余弦函数的图像了。若将正弦函数向右平移是不是也能够得到余弦函数图像？是的。如果是要平移多少，这个自己下去思考一下。

其实正弦函数向右边就是3x，用左加右减，右边平移2分之π一个单位，用诱导公式，要编名称，2分之π加上一个就是一个第二项，相当于第二线的角，第二线正弦是正的，这是向左平移，左加，那是向左左边加个2分之π，就是得到扩散你的图像，这是左移2分之π。

能不能用右的公式看它应该是往右边移多少？知道左加右减加off pen就是左移，要右移当然就是x减去一个数，就是又移了，所以可以把它变形，这个式子不是两边可以加，加个二π或者减个二π都是可以的吗？因为它的中间还是相同的，加一个周期和减一个周期都可以。

所以可以把这个在往右边就是减个二π，这样就可以得到三引x减去二分之三π，它还是等于扩散一，所以可以向右平移，向右平移多少？平移二分之三π个单位就可以了。

来看一下这个图像，这是正弦函数图，余弦函数两个的图像都画在这里面，把正弦函数这个红色的线就是正弦函数，这红色的线把它往右边平移，比如这个零零就看这一个点，零零在正写函数图像上，这个点是零零，把它向右平移，这里平移π再平移到这里来，这不就刚好是二分之三π零吗？图像就移到右边来就可以变成余弦函数图像了，大家看一下是不是的？

所以如果向右平移应该是平移二分之三π单位。现在来看一下观察余弦函数，类比正弦函数可以得到余弦函数的一些性质。首先它的定义域是全体式数，正弦函数的定域也是全体式数，这个是一样的。然后值域，正弦函数的值域是负一到一，余弦函数的值域也是负一到一。

哪些是哪些值可以取到最大值一？这个就是一，这个就是一，当x取在这里的时候x就等于零，在这个地方的时候x等于二π，这里的时候x等于负二π。下面一个点当然就是三π往右边，是不是四π？找过规律，零二π四π，下一个就是六π八π了，所以就是偶数乘以π。

总结一下，总结出来得到x等于偶数，二π就是偶数的意思，偶数乘以π就可以取到最大之一了。同样的，它等于二πpi加pi的时候就可以取最小值，这是怎么来的？来看一看最小值有哪些点？最小值是负一，那就是π三π副π，下面一个肯定就是五π，这个是π三π就可以写成π加二π，下面是五π，五π就可以写成π加四π，是不是刚好是一个π加上一个偶数乘以π，所以就是π加二ππ。

这是归纳的方法，大家也可以这样看，哪些时候取得最大值？还可以这样看，就是先找一个周期，一个周期内不就是零到二π吗？使得它取最大值一的，这里就是的x等于零，它就等于括三与零就是等于一，它的周期是二π，所以就把这个零加上一个二ππ就可以了。

要是周期是三π，那就是k乘以三π，那就是三ππ，周期是四π，就是k乘以四π加四ππ，k乘以四ππ，周是如果周期是五五五π，那就是k乘以五π，就是周期是多少就加上k乘以多少π，也可以这样看。

再看一下它的周期，刚刚还说了余弦函数周期也是二π，因为最小的重复单位是二π，每个二π个单位图像就重复的画一下，所以周期就是二π，正确函数周期也是二π。

·再看它的基友性，看它图像是不是关于y轴对称非常对称，关于y轴对称就是一个偶函数，也可以利用右的公式扩散于负x等于扩散x，因为以前讲过负f负x等于fx，如果定义没问题，如果f负x等于fx就是一个偶函数，用它的图像和用右的公式都能够得到是一个偶函数。

·再看一下单调性，它的单调性是在某一个区间，在哪里？从这个地方到这个地方图像是上升的，所以可以说副π到零就是它的一个真区间，但是真区间有好多，这里还有，这也是真区间，还有这边也是真区间，就用刚才讲的方法先写一个周期的，然后在两边同时加上alkπ，左边加alkπ就是副π加上alkπ，右边零加okπ就是okπ，这就是它所有的单调争取键。

可能跟它不一样，提了个供应式，提供应式，负一加二k就是二k减一，是不是跟它一样了？这就是增区间的归纳方法，减区间就是二kπ到二kπ加π，是怎么看的？就是这样看的，从这里到这里不是单调递减的吗？定义是零到π，范围是零到π，有在两边同时加个二kπ，所以左边就是二kπ加零就是二kπ，右边就是二kπ加π，是不是就是它的一个减去键？

·再来看一下例题，例一用五点法做出y等于扩散负的扩散翻译x在零到二排列的图像，先列表余弦函数，余弦函数的五个点是零一，二分之π零，然后π负一，二分之三π零，二π一，这样背下来，这里有个符号，就把每一个值变相反数，填个符号就是负一，零填个负一就是负零还是零，负一填个符号，负负一就是一，这里也是零一的相反数就是负一，所以就过哪几个点？

一个是横坐标是零，正指标是负一，这一个点再是二分之π零，三个点就是π一，再就是二分之三π零，最后一个点就是二π负一，这就是它的五个点。

·然后把这五个点用光滑的曲线把它们连接起来，蓝色的线就是余弦函数图像，把它和y等于扩散x和y等于负的扩散x对比发现什么？发现这两个图像关于x轴对称，就是每个点关于x轴对称的点在哪里？比如这个点关于x轴对称点在另外一个函数图像上，它都关于x轴对称，所以整个图像就是关于x轴对称。

·这是这个题目，再看第二求这个式子的最大、最小。刚刚还说了扩散x取负一到一，当然是扩散x等于一的时候y就最大了，最大值就等于三乘以一加一，不就是等于三加一等于四吗？括上x肯定取负一的时候y就最小了，最小值是多少？算一下，三乘以负一加一就是负三加一负二，这就是最大值和最小值的求法。

大家可以看一下，负二到四这样做也是可以的，最大值是四，最小时是负二，然后x取最大值就是x等于二kπ，最小值就是二kπ加快这种刚才总结的，最大值不就是扩散x等于一时候的值吗？

画一个图像x等于一，哪些点？不就是零吗？零对应的就是一，然后再把它两边同时加二给π，所以得到x就等于零角akπ，所以就取akπ的时候最大。就这样的。

·这是这个题目，再来看一下逆三比较大小，画一下余弦函数图像，图像就像一个碗一样的，就像吃饭的一个碗，然后画图像的时候右边最好稍微弯一点，这是二π，这是π，在这个范围内零到π内有一个零到π这个区间，还有个π到二π这样的区间。

大家可以看出零到π这一部分是不是图像下降的？所以零到π是它的一个单调递减区间，π到二π是图像是上升的，所以应该是它的一个真区间。

·来看第一题，看二分五分之二π到五分之四π，这两个大家都知道π其实就等于多少？π是不是等于五分之五π？所以它俩都比五分之五π小，也就是五分之二π是小于五分之四π，π就当三点一四用，就是二乘以三点一四除以五，肯定小于四乘以三点一四除以五，而且它俩都小于五分之五π，也就是等于π，它们都大于零。

所以就说这两个数应该是在零到π之间，所以它是一个单调零到π这个范围内，它是一个单调递减的递减函数，它的特点就是这个角小直角大角，大直角小，唱反调，这个小一些，所以它对应的值就应该大一些，给它扩散于五分之二π应该大于扩散于五分之四π，它是减函数的。

·这是第一题的做法，大家可以看一下，它俩在零到π之间，所以线函数在零到π之间是减函数，所以它俩就是它。这个题要是对于这种上弧度的方法不太了解，可以这样做，π不就是一百八吗？也就是说余弦函数扩散ex在零到一百八十度之间的时候是一个单调底减的区间。

·然后五分第一小题五分之二π，其实就是多少？五分之二，要是不喜欢用弧度数可以把它变成角度，这约分三十六，三十六乘以二不就是七十二度，刚好锐角在一零到一百八十度之间，但是五分之四π也可以画一下应该是乘以二，就是一百四十四度，七十二度和一百四十四度都可以。属于零到一百八十度之间，它俩都比一百八十度小，比零大，所以它俩是一个减区间里面的角。减区间的特点就是这个角小，但是它的值反而要大，也就是扩散于五分之二拍肯定是要大一些，大于扩散于五分之四拍。

这个第一题就做完了，我再看一下第二题。第二题可以用诱导公式，有一组诱导公式就是扩散于负，阿尔法等于扩散阿尔法，所以第二题可以把这个副角变成正角，它是等于扩散引十分之派，第二个也可以把它化成扩散引八分之派。

再看一下十分之派和八分之派，这个应该好说，十分之派其实就是十八度，这是十八度，这个是十，我写在这里，写在上面，前面一个是十八度，八分之派就是六八除以八，new 二百三，二百一十六二十二，大概是二十二点五度的样子，那就二十二度约等于二十二度，很明显这个是扩散引十八度，这个是扩散引二十二度，很明显十八度比二十二度要小一些。

但是由于正弦函数在零到一百八十范围内是一个单调递减的区间，刚好这个十八和二十二在这个范围内，所以它是单调递减，那扩散引十八肯定就大于扩散引二十二，也就是扩散十八是多少？扩散十八是不是扩散以十分之派？扩散十分之派就大于扩散以八分之派，也就是这个地方用的是大于号。

大家可以看一下这题的解答过程，这个题没有运用到公式，直接换了一个区间，没有用刚才这个零到派这个区间，也就零到八十一百八的那个区间，往左边画了一个区间就是副派到零，这副派到零是一个单调递增的，因为图像上升，这里写错了应该是负，负派到零应该是一个增区间，这是一个增区间，上是一个增函数，增函数，所以这个角小，那么它的值就肯定小一些，这个答案是没错的。

这是一个比较大小的题目，大家可以把后面的练习下去做一下。