高中数学：离散型随机变量的数字特征的讲解

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离散型随机变量的数字特征是用一些数值来描述其分布特性的重要工具，主要包括数学期望、方差、标准差、矩等。以下是详细讲解：

一、数学期望（均值）

1.定义

数学期望（Expected Value）是随机变量所有可能取值与其对应概率的加权平均，反映“平均水平”。

2.公式

若离散型随机变量 X 的可能取值为
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!对应概率为则数学期望为：

3.例子

掷一枚均匀骰子， X 为出现的点数，则：

4.性质

① 线性性：

② 若 X 与 Y 独立，则

二、方差与标准差

1.方差（Variance）：衡量随机变量取值与均值的偏离程度。

2.公式

或简化公式：

3.标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，与原始数据单位一致。

4.例子

继续以骰子为例，计算方差：

标准差为：

5.性质

②若 X 与 Y 独立，则

三、矩（Moments）

1.原点矩k 阶原点矩是的期望，即：

2.中心矩： k 阶中心矩是的期望，即：

一阶中心矩恒为

二阶中心矩即为方差

3.高阶矩的意义

①偏度（Skewness）：用三阶中心矩衡量分布的不对称性。

②峰度（Kurtosis）：用四阶中心矩衡量分布的尖峭程度。

四、协方差与相关系数（补充）

若涉及两个离散型随机变量 X 和 Y ：

1. 协方差（Covariance）

反映两个变量的线性相关性。

2. 相关系数（Correlation Coefficient）

取值范围为 [-1, 1]，绝对值越大相关性越强。

五、应用与总结

1. 期望用于决策（如赌博的期望收益）。

2. 方差/标准差用于风险评估（如投资收益的波动）。

3. 协方差/相关系数用于分析变量间的关系（如股票间的关联性）。

注意:

期望不一定等于实际可能取值（如骰子的期望为 3.5，但实际无法出现）。

独立性与协方差的关系：若 X 与 Y 独立，则但反之不一定成立。

通过以上数字特征，可以全面描述离散型随机变量的分布特性，为实际问题提供量化分析工具。

六、以下是相关练习题目（附答案）