初高中数学衔接——一元二次方程根的判别式

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一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）由配方法可化为

（x+
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因为a≠0,所以4a²>0.式子b²-4ac的值有以下三种情况：

(1）b²-4ac>0

这时＞0，由①式得x+=±，

方程有两个不相等的实数根：

x₁=，x₂=

(2)b²-4ac=0

这时=0,由①式得（x+）²=0,方程有两个相等的实数根：

x₁=x₂=-.

(3)b²-4ac<0

这时＜0，由①式得（x+）²＜0,而x取任何实数都不能使（x+）²＜0

因此方程无实数根.（但存在虚数根）

这说明，根据b²-4ac的值的符号，可以判定一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况.

一般地，式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b²-4ac.

归纳起来，有

(1)△>0方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0方程有两个相等的实数根；

(3)△<0方程没有实数根.

如果将数的范围扩大到复数（高中将学到）范围内，那又是什么结论呢？有兴趣请点击：求一元二次方程x²-4x+8=0的根，一元二次方程在复数范围内的解集

【例1】不解方程，判别方程8x²+（m+1）x+m-7=0的根的情况：

△=(m+1)²-4×8×(m-7)=m²-30m+225=(m-15)².

因为无论m取何值，都有△=(m-15)²≥0,所以方程有两个实数根.

【例2】已知关于（k-2）x²+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根，求k的范围.

将方程化成一般形式，二次项系数k-2≠0.因为一元二次方程有两个不相等的实数根，

所以△>0.

解：方程（k-2）x²+k=(2k-1)x可化为（k-2）x²-（2k-1）x+k=0

因为方程有两个不相等的实数根，所以

k-2≠0

∆=［-（2k-1）］²-4k（k-2）=4k+1＞0

解得k>-且k≠2.

所以k的取值范围是k>-且k≠2.

【例3】证明：关于x的一元二次方程（m²+1)x²-2mx+m²+4=0没有实数根.

要证一元二次方程没有实数根，只要证△<0即可.

证明：二次项系数m²+1≠0.

△=(-2m)²-4(m²+1)(m²+4)=-4(m²+2）²

因为无论m取什么实数，都有m²+2>0,所以-4(m²+2）²<0,即△<0.

因此，一元二次方程（m²+1)x²-2mx+m²+4=0没有实数根。