不等式及一元一次不等式学习指南

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一、 认识不等式：不只是等于

1. 定义：

像 “3 < 5“， “x > 2“， “2y – 1 ≤ 7“ 这样，用 不等号 (“>“, “<“, “≥“, “≤“, “≠“) 连接而成的数学式子，叫做 不等式。

核心： 表示两个量之间 不相等 的大小关系。

2. 关键概念：

不等号的意义：

“>“ ： 大于 (左边的比右边的大)

“<“ ： 小于 (左边的比右边的小)

“≥“ ： 大于或等于 (不小于)

“≤“ ： 小于或等于 (不大于)

“≠“ ： 不等于

解： 能使不等式成立的 未知数的值 叫做不等式的解。

例如：对于不等式 “x > 3“， “4“、“5“、“100“ 都是它的解，但 “2“、“3“ 不是。

解集： 一个不等式 所有解的集合 叫做这个不等式的解集。

例如：“x > 3“ 的解集是所有大于 3 的数。

解不等式： 求不等式 解集的过程 叫做解不等式。

3. 表示解集：

最常用：数轴表示法。

步骤：

1. 画一条水平的直线（数轴），标出原点、正方向和单位长度。

2. 找到 临界点 (解集中开始或结束的那个数)。

3. 判断临界点是否包含：

如果解集 包含 临界点 (“≥“ 或 “≤“)，用 实心圆点 (●) 表示。

如果解集 不包含 临界点 (“>“ 或 “<“)，用 空心圆圈 (○) 表示。

4. 判断方向：

解集是临界点 右侧 的所有数 (“>“ 或 “≥“)，从临界点向右画 射线。

解集是临界点 左侧 的所有数 (“<“ 或 “≤“)，从临界点向左画 射线。

例子：

“x > 2“：在 2 处画 ○，向右画射线。

“x ≤ -1“：在 -1 处画 ●，向左画射线。

不等式表示法： 直接用不等式表示解集。如 “x > 3“。

区间表示法 (了解)： 如 “(3, +∞)“ 表示 “x > 3“， “[-1, 4)“ 表示 “-1 ≤ x < 4“。初中阶段可能接触较少。

二、 探究核心：一元一次不等式

1. 定义：

只含有 一个未知数，并且未知数的 次数是 1 的不等式，叫做 一元一次不等式。

标准形式： “ax + b > 0“, “ax + b < 0“, “ax + b ≥ 0“, “ax + b ≤ 0“ (其中 “a ≠ 0“)。例如：“2x – 5 < 7“, “3x + 2 ≥ x – 4“。

2. 核心解法：类比与差异

解一元一次不等式的 基本思路 和解一元一次方程非常相似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

关键差异： 在“系数化为1”这一步，如果两边都乘以（或除以）同一个 负数，不等号的方向必须改变！

3. 不等式的基本性质 (解题基石)：

性质 1 (加法性质)： 不等式两边都 加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 不变。

如果 “a > b“，那么 “a + c > b + c“， “a – c > b – c“。

性质 2 (正数乘法性质)： 不等式两边都 乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 不变。

如果 “a > b“, “c > 0“，那么 “a * c > b * c“， “a / c > b / c“。

性质 3 (负数乘法性质 – 易错点！)： 不等式两边都 乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 必须改变。

如果 “a > b“, “c < 0“，那么 “a * c < b * c“， “a / c < b / c“。 (大于变小于)

4. 解一元一次不等式的标准步骤 (务必牢记)：

1. 去分母： (如果存在分母) 利用性质2，两边同乘分母的最小公倍数。注意： 如果分母是负数，虽然这步用性质2不等号方向不变，但后续去括号等步骤容易出错，通常先处理符号或最后变号时更小心。

2. 去括号： 根据括号前的符号决定是否变号 (同方程)。

3. 移项： 利用性质1，把含有未知数的项移到不等式的一边 (通常是左边)，常数项移到另一边。移项要变号！

4. 合并同类项： 分别合并两边的同类项，将不等式化为 “ax > b“, “ax < b“, “ax ≥ b“, “ax ≤ b“ 的形式。

5. 系数化为1： 利用性质2或性质3，将未知数的系数化为1。

关键： 如果系数 “a“ 是 正数，直接除，不等号方向不变。

如果系数 “a“ 是 负数，两边除以 “a“ (或乘以 “1/a“)，不等号方向必须改变 (“>“ 变 “<“, “<“ 变 “>“, “≥“ 变 “≤“, “≤“ 变 “≥“)。

6. 在数轴上表示解集： 按照前面讲解的方法，将解集清晰地表示在数轴上。

7. 检验 (可选但推荐)： 在解集中选取一个值代入原不等式，检查是否成立，验证解的正确性。

5. 典型例题解析：

例 1： 解不等式 “2x + 5 < 11“，并在数轴上表示解集。

解：

1. 移项： “2x < 11 – 5“ → “2x < 6“ (利用性质1)

2. 系数化为1：两边除以 正数 2，不等号方向不变： “x < 3“ (利用性质2)

3. 解集： “x < 3“

4. 数轴表示：

“““

“““

例 2： 解不等式 “-3x ≥ 6“，并在数轴上表示解集。

解：

1. 系数化为1：两边除以 负数 -3，不等号方向改变： “x ≤ -2“ (利用性质3)

2. 解集： “x ≤ -2“

3. 数轴表示：

“““

“““

例 3 (含分母)： 解不等式 “(2x – 1)/3 ≥ (x + 2)/2“。

解：

1. 去分母： 找 3 和 2 的最小公倍数 6。两边同乘 6 (正数)： “6 (2x – 1)/3 ≥ 6 (x + 2)/2“ → “2(2x – 1) ≥ 3(x + 2)“ (利用性质2)

2. 去括号： “4x – 2 ≥ 3x + 6“

3. 移项： “4x – 3x ≥ 6 + 2“ → “x ≥ 8“ (利用性质1，移项变号)

4. 解集： “x ≥ 8“

5. 数轴表示 (自行练习)。

例 4 (简单应用)： 小明期末考试语文 86 分，数学成绩比语文成绩的 2 倍少 7 分。要使总分不低于 180 分，他的数学成绩至少需要多少分？

解：

1. 设未知数： 设小明的数学成绩为 “x“ 分。

2. 找不等关系： 语文分 + 数学分 ≥ 180 → “86 + x ≥ 180“

3. 解不等式：

“86 + x ≥ 180“

移项： “x ≥ 180 – 86“ → “x ≥ 94“

4. 作答： 小明的数学成绩至少需要 94 分。

三、 学习要点与注意事项 (重点！)

1. 深刻理解不等号： 明确 “>“, “<“, “≥“, “≤“ 的具体含义，这是判断解集方向和范围的基础。

2. 牢固掌握基本性质： 特别是 性质3（乘除负数要变号），这是解不等式的核心，也是最容易出错的地方！每次进行乘除运算时，都要先判断乘除的数是正还是负。

3. 规范解题步骤： 严格按照“去分母→去括号→移项→合并→系数化1”的步骤进行，避免跳步。清晰书写每一步。

4. 准确表示解集： 学会熟练、规范地在数轴上表示解集，区分 实心点 (包含) 和 空心圈 (不包含)。这是展示答案的重要方式。

5. 重视移项变号： 移项的本质是利用性质1，把一项从一边移到另一边，必须改变该项的符号。这和方程移项一致。

6. 养成检验习惯： 选取解集内外的值代入原不等式检验，特别是解复杂不等式或对答案不确定时，能有效发现错误。

7. 联系实际应用： 尝试将不等式知识用于解决简单的实际问题（如例4），理解其实际意义，提高学习兴趣和应用能力。

8. 对比方程与不等式： 理解解法的相似性（步骤基本相同）和关键差异（系数为负时变号），加深对两者本质的理解。

四、 总结

不等式是描述数量大小关系的强大工具，一元一次不等式是其中最基础、最重要的类型。通过理解不等号的含义、掌握不等式的性质（尤其是变号规则）、遵循规范的解题步骤、准确表示解集，并辅以适当的练习和应用，同学们一定能够攻克这一知识点，为后续学习更复杂的不等式和函数打下坚实的基础。记住：细心、规范、多练、多思 是学好数学的不二法门！