泊松方程、泊松括号、泊松亮斑和泊松分布

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西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson，1781–1840）是法国数学家、物理学家，在数学、力学、电磁学、光学等领域均有重要贡献。

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1. 泊松方程（Poisson’s Equation）

泊松方程是描述势场（如电势、引力势）分布的偏微分方程，是拉普拉斯方程的推广。

公式与推导

拉普拉斯方程（无源场）：

其中 ∇² 是拉普拉斯算子。

泊松方程（含源场）：

其中 f(r)是源项（如电荷密度、质量密度）。

1.1 推导示例（静电场）：

根据高斯定律 ∇⋅E=ρ/ε0 和电场与电势关系 E=−∇ϕ，代入得：

1.2 引力场：∇²ϕ=4πGρ（G为引力常数）。

牛顿万有引力定律表明，质量密度为 ρ(r)的物体产生的引力场 g 满足：

散度定理

1.3 热传导：稳态温度场满足 ∇²T=−Q/k（Q为热源）

2. 泊松亮斑（Poisson Spot）

泊松斑是波动光学中的现象，圆盘衍射时，几何阴影中心会因波动干涉出现亮斑。泊松原本用此反驳菲涅尔的波动理论，但实验验证反而支持了波动说。

公式与物理机制

菲涅尔衍射积分：

光强分布通过波动叠加计算：

其中 a为圆盘半径，k=2π/λ为波数。

中心亮斑条件：

圆盘边缘的衍射波在中心点相位相同，发生相长干涉，形成亮斑。

结果：

中心点光强为 I0（非零），与几何光学预测的完全阴影矛盾。

意义：

泊松斑成为光的波动性的关键证据。

3. 泊松括号（Poisson Bracket）

泊松括号是经典力学中描述相空间动力学对称性与守恒量的核心工具，后成为量子力学对易子的前身。

3.1 定义与公式

泊松括号定义：

对两个相空间函数 A(q,p)和 B(q,p)。

3.2 正则关系：

3.3 基本性质：

反对称性：{A,B}=−{B,A}

线性性：{aA+bB,C}=a{A,C}+b{B,C}（a,b 为常数）.

莱布尼兹规则：{AB,C}=A{B,C}+B{A,C}

雅可比恒等式：

{A,{B,C}}+{B,{C,A}}+{C,{A,B}}=0.

3.4 动力学与守恒量

哈密顿方程：

守恒条件：若 {Q,H}=0，则 Q是守恒量（如角动量 Lz）

示例（角动量代数）：

角动量分量满足：

对应旋转群 SO(3)的李代数。

4、泊松分布：

描述稀有事件概率的离散分布：

5、弹性力学：

提出泊松比（材料横向应变与纵向应变之比）：

结语：泊松的科学遗产