空间向量–求直线与平面所成角

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确定直线和平面的法向量：直线的方向向量可以直接从直线的方程或参数方程中得出。平面的法向量可以通过平面的点法式方程得出，即如果平面过点P(x0,y0,z0)且法向量为n=(a,b,c)，则平面方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0。

1. 计算直线方向向量与平面法向量的夹角：设直线的方向向量为d=(d1,d2,d3)，平面的法向量为n=(a,b,c)。使用向量的夹角公式计算cosθ=∣d∣⋅∣n∣d⋅n，其中d⋅n是向量的点积，∣d∣和∣n∣分别是向量的模。
2. 求直线与平面的夹角：由于直线与平面的夹角α和直线方向向量与平面法向量的夹角θ是互余的（即α+θ=90∘），所以α=90∘−θ。也可以直接用sinα=∣cosθ∣来求解，因为sinα=∣d∣⋅∣n∣∣d×n∣，其中d×n是向量的叉积。
3. 注意特殊情况：如果直线在平面内，则直线与平面的夹角为0∘。如果直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为90∘。

示例

假设直线l的方向向量为d=(1,1,1)，平面π的法向量为n=(1,2,−2)。

1. 计算cosθ：
   cosθ=∣d∣⋅∣n∣d⋅n=12+12+12⋅12+22+(−2)21⋅1+1⋅2+1⋅(−2)=331=93
2. 计算sinα：
   sinα=∣cosθ∣=93
3. 由于α∈[0∘,90∘]，可以通过查找或计算得出α的具体值（这里省略具体计算过程）。

总结

空间向量在求解直线与平面所成角的问题中提供了一种简洁而有效的方法。通过确定直线方向向量和平面法向量，并利用向量的夹角公式进行计算，可以轻松地得出答案。在高考中，熟练掌握这种方法对于解答相关题目至关重要。

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