从梅森数到卢卡斯数列（续）

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（写在开头的废话）

还是有必要说一下：为啥正文只能发张图片？原因是，正文中大量使用了公式，而，

1. 公式一多，头条的公式编辑器就会出错，无法使用；
2. 图片只能表示行间公式，对于行内公式无能为力；

以上。

本续篇非常简单，几乎只用到了 初中数学知识，相信不会对各位造成数学上的压力，大家总算是可以以娱乐的心情看了。

每个做过核酸检测的人，都对于排队印象深刻，而志愿者更是如此！从“大白”的角度看，那长长的队伍长龙，见首不见尾。将排队中的人 替换 成数字，就成了 数列，替换成 函数，就是 函数列。

除了等差数列外，最基本的数列是 等比数列，它的递推定义是：

• 初始条件：

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• 递推关系式：

函数列的部分和组成的函数列，叫做级数，最有名的 就是 幂级数：

• 幂函数列：

• 幂级数：

为了方便，记为：

幂级数的系数 和 某数列 一一对应，因此 前者称为 后者的 母函数，使用 母函数 可从数列递推关系求出 通项公式，例如：上面的等比数列，令母函数为：

根据递推关系式，有，

再根据初始条件，求得母函数为 ①，

利用常用幂级数展开式，

将 qx 看成 x，则 g(x) 可展开为：

于是可得的 等比数列的 通项公式为：

看到这的各位 可能会直摇头，这不是简单的问题复杂化了吗？按照，递推定义 我直接就可以写出，等比数列的各项，这立即就能得出上式。

您先别急，如果所求是如下递推定义的通项呢？

• 初始条件：

• 递推定义：

您可以直接写出来，看看是否可以找到规律，反正 小石头是 不能。但是可以使用母函数，有，

于是求得母函数为：

接着，就是找它的展开式了，暴力的方法就是迈克劳林公式，但是这里有更巧妙的方法。

我们已经知道了 ①处母函数 对应的展开式系数是 等比数列，于是就可以考虑将上式的分数形式 列项为 两个 ①处形式 之和。

于是令，

为了将左边变成多项式因式分解的形式，可令 x = 1/y 带入，有，

化简得到，

这说明，α 和 β 是方程 ②：

的两个根，于是解方程得到，

再设，g(x)的列项为，

于是根据 ① 处的结论，得到 通项公式：

又因为，

比较等式两边分子多项式的各项系数，可列出如下线性方程组：

于是，解方程组求得 A 和 B 为，

而根据 韦达定理，由 方程 ② 知 p = α + β ，于是，最终得到：

令 p=P, q=-Q，考虑 a=2, b=P 的特殊情况 vn，此时有，

于是 vn 的通项公式是：

再 考虑 a=0, b=1 的特殊情况 un，此时有，

于是 vn 的通项公式是：

其实，它们就是正文中我们将要讨论的 卢卡斯数列。

（正文）