数的整除（1）

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2024.1.28

在预初年级数学第一章学的是数的整除.整除的概念一般是在小学学习整数除法时接触到的.我们知道，一个偶数可以被2整除；又如一个数能被3整除，则这个数的数和也被3整除，等等.类似这种整数整除特征就是整除理论的研究内容之一.整除理论是初等数论的基础.著名数学家毕达哥拉斯、欧几里得、费马、哥德巴赫、欧拉等都在整除理论研究领域留下了自己的成果.对于我们初学者而言，学习整除，主要要学会整除性质的应用和证明方法.

让我们先了解教材上关于整除的定义：

定义1 设a，b是两个整数，且b≠0，若存在整数q，使得a=bq，则称b整除a或a被b整除，记作

b|a.

其中b叫做a的约数或者因数，a叫做b的倍数.

定义2 有两个约数的正整数是素数.有两个以上约数的正整数是合数.

因数、倍数、素数、合数、公因数、公倍数、最大公因数和最小公倍数等是整除理论的基本概念，这些基本概念是需要我们初学者掌握理解的.

另外，我们经常还需要运用整除定义和性质判断和证明一个整数是否可以被另一整数整除。末位法、数和法、数差法和截尾法是四种常用的整除数特征判断方法.

1.末位法主要用于：判断一个整数是否能被2，5整除，若末位数是0，2，4，6，8则能被2整除，若末位数是0或5，则能被5整除.此法可以进一步推广到被4，25；8，125乃至2n，5n的情形.

2.数和法主要用于：判断一个整数是否能被3，9整除.若数和是3的倍数，则可被3整除；若数和是9的倍数，则可被9整除.

问题 请判断是否能被3或9整除.

显然，这个数的数字很多，一个一个加起来算数和比较麻烦.下面我们引出数和法判断一个数能否被3，9整除的一个技巧：任意截断法.

我们可以把拆成以下部分：58，30，65 ，42.

58+42+65+30=195，而1+9+5=15，可以被3整除，说明可以被3整除.

3. 数差法主要用于：判断一个数是否能被11整除.将奇数位数数字之和与偶数位数数字之和相减，得到的差为0，则这个数能被11整除.

4. 截尾法主要用于：一个数能否被7，11，13整除.主要依据是

1001=7×11×13.

以上四种方法是判断一个数能否被常见素数整除的主要方法，鉴于篇幅原因其他方法我们暂不讨论，也没有给大家证明这四个方法的合理性，大家可以自己尝试着去证明一下，也可以去探讨其他方法.