OFDM基本原理以及时域上的波形分析

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OFDM的基本原理

我们知道，OFDM技术的推出其实是为了提高载波的频谱利用率，或者是为了改进对多载波的调制，它的特点是各子载波相互正交，使扩频调制后的频谱可以相互重叠，从而减小了子载波间的相互干扰。

在单载波系统中，单个衰落或者干扰可能导致整个链路不可用，但在多载波的OFDM系统中，只会有一小部分载波受影响。此外，纠错码的使用还可以帮助其恢复一些载波上的信息。通过合理地挑选子载波位置，可以使OFDM的频谱波形保持平坦，同时保证了各载波之间的正交。

时域上的波形分析

OFDM的”O”代表着”正交”，那么就先说说正交吧。

首先说说最简单的情况，sin(t)和sin(2t)是正交的。

如下证明sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分
欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!为0,

根据积化和差公式，

得到，

得到，

根据三角函数积分公式，

所以：

用图形的方式理解正交性，

在下面的图示中，在[0,2π]的时长内，采用最易懂的幅度调制方式传送信号：

sin(t)传送信号a，因此发送a·sin(t)，

发送a信号的sin(t)

sin(2t)传送信号b，因此发送b·sin(2t)。

发送b信号的sin(2t)

其中，sin(t)和sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，在本文中一律称为子载波；

调制在子载波上的幅度信号a和b，才是需要发送的信息。

因此在信道中传送的信号为a·sin(t)+b·sin(2t)。

在信道中传送的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)

在接收端，分别对接收到的信号分别乘以sin(t)和sin(2t)并在[0,2π]的时长内积分，就可以得到a和b了。

假设f(t)=a·sin(t)+b·sin(2t)，

f(t)·sin(t)=[a·sin(t)+b·sin(2t)]·sin(t)的波形如下：

[a·sin(t)+b·sin(2t)]·sin(t)的波形

根据二倍角公式，

f(t)·sin(t)=[a·sin(t)+b·sin(2t)]·sin(2t)的波形如下：

[a·sin(t)+b·sin(2t)]·sin(2t)的波形

发送和接收的流程框图

上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。

1.1 下一步，将sin(t)和sin(2t)扩展到更多的子载波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)} (其中k=16，256，1024等)，应该是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf是事先选好的载频间隔，也是常量。1t,2t,3t,…,kt保证了正弦波序列的正交性。

1.2 再下一步，将cos(t)也引入。

容易证明，cos(t)与sin(t)是正交的，也与整个sin(kt)的正交族相正交。

同样，cos(kt)也与整个sin(kt)的正交族相正交。

因此发射序列扩展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),…,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。

1.3 经过前两步的扩充，选好了2组正交序列sin(kt)和cos(kt)，这只是传输的”介质”。

真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,…,ak信号,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,…,bk信号。

这2n组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下：

…

…

为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式，如下：

上面的公式可以这样看：

每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是f(t)。

接收端收到杂糅信号f(t)后，在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。

上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：

时域上的OFDM系统图

LTE子载波的间隔Δf=15kHz，一个OFDM symbol的发送时间是66.7us，可以发现，15kHz*66.67us=1，即基带上一个OFDM symbol的发送时间正好发送一个一次谐波的完整波形。

对于10M的LTE系统，采用的是1024个子载波，但是只有中间600个（不含最中间的直流）子载波被用于传送数据。

在一个OFDM symbol的时间内（即66.67us)，靠近中间的两个一次谐波传输一个完整波形，再靠外一点的两个二次谐波传输两个完整波形，以此类推至最外面的两个300次谐波传输了300个完整的波形。

在这66.67us内，600个子载波互相正交，其上分别承载了600个复数信号。