直线的方向向量和它的方程——解析几何漫谈（五）

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

在落实了直线的斜率之后，我们就可以根据斜率的定义，写出这条直线的方程了：

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

这是根据两个点的坐标，计算出斜率的。

那么我们现在假设直线上任一点坐标为（x,y），另一点坐标已知为（x0,y0），这两点都符合上面的等式关系，这就会有：

这就是直线的点斜式方程——知道了直线上一个点，和它的斜率，可以直接写出的方程。

我们把上面的公式改造一下，就能写出直线的斜截式方程：

当x=0时，这条直线就会和y轴相交，我们此时把交点的纵坐标称为直线在y 轴上的截距b。

此时，上式又可以简写为一种较为直观的形式：

它被称为直线的斜截式方程——知道直线的斜率和在y轴上的截距，可以直接写出来的方程。

假设一条直线在x轴上的截距是a、y轴的截距是b，那么就可以直接写出直线的截距式方程：

这个方程怎么写出来的呢？看图：

现在这条直线的斜率为k=-b/a对吧？

这里的k值为什么有负号？

因为此时直线向上，a值是负值，要保证k值必须是正的才行呀。

此时我们可以写出直线的斜截式方程：

您看，稍加整理，就可以得到直线的截距式方程。

如果我们愿意把斜率k的原始计算方式直接写出来，也可以把点斜式方程，转化为直线的两点式方程：

这就是直线的两点式方程——知道直线上任意两点的坐标，可以直接写出来的方程。

这些含有斜率k的直线方程，前提都是直线存在斜率的，如果直线不存在斜率，也就是这条直线垂直于x轴于m，那它的方程就可以直接写成：

最后就是我们常用的一般式直线方程：

它实际上就是上述点斜式、斜截式、两点式、截距式方程转化而来的，我们以点斜式方程为例：

上式中，x,y前面的系数都是常数，后面的也是常数，那我们就把它们简化，用A,B,C代替就可以了。

刚开始会有同学对这种一般式不习惯，觉得不直观，搞不清楚直线的斜率和在y轴上的截距，那也好办，你直接把它改造成斜截式方程就可以了：

这样直线的斜率k值和在y轴上的截距就非常明确了。

有了直线的方程，接着就必须谈谈直线的方向向量。

我们以前提到过，直线“向上”或者“向下”只是教学过程中一种形象的说法，它的目的是较为直观的表示直线的倾斜趋势。

数学上真正用来表示一条直线方向的，用的是直线的“方向向量”。

一条直线的方向向量，是指和这条直线平行（或共线）的非零向量。

也就是说，只要和这条直线平行的向量就行，这样一来，因为有无数个向量和直线平行，那么，找到这条直线的方向向量就很简单：

比如一条直线的斜率是k，那么向量（1，k）所在的直线，也和它平行，向量（1，k）就是这条直线的一个方向向量；同理反方向的（-1，-k）也是这条直线的方向向量，更普遍的，λ（1，k）也是这条直线的方向向量。

如果你不想这么看似儿戏的写出直线的方向向量，你只需在一条直线上，任取两点M（x1,y1）、N（x2,y2）,根据两点的坐标，我们可以写出向量MN：

我们称这个向量MN是这条直线的其中一个方向向量。

向量MN和向量（1，k）共线，所以向量（1，k）也是直线的一个方向向量。

按照定义，反方向的向量NM同样也是直线的一个方向向量。

比如我们说向量（1,1）和向量（3,3），或者（-1，-1）、（-3，-3）指代的都是直线y=x+b的方向向量。

用方向向量指代直线的方向，会给我们处理两直线平行或垂直问题的时候，带来很大的便利，因为，如果你用直线向上、向下的说法，太笼统，没办法进行代数的运算，但方向向量有具体的代数值，就可以参与运算了。

这种运算，我们会在处理具体的题目时，详细介绍。