趣味线性代数（六），什么是向量空间？

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即使你对线性代数一无所知，从向量空间开始学起也是没有问题的，向量及向量空间才是线性代数最基础的知识。

先看一下向量空间的定义：

设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘法两种运算封闭，那么就称集合为向量空间。

所谓封闭，是指在集合中可以进行加法及乘法两种运算，具体地说，就是若，，则；若，，则。

解释不如举例，我们举几个例子，来探讨一下什么是向量空间。

从简单的开始。给出二维向量组和，它们能生成什么样的向量空间呢？

向量组构成矩阵

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那么有

很显然，向量，向量与向量线性相关。那么向量组的最大无关组就是，问，向量组生成的向量空间是几维的呢?

对应平面图形，如下图

可以看出向量与直线共线，那么直线就是向量组的向量空间，应该算一维向量空间吧。

这个例子正好用来说明什么是“对于加法及乘法两种运算封闭”。对于向量，它自己加自己或乘以任意实数都跑不出这条直线。那么用乘方呢，比如2次方，向量变成向量，一并绘入下图：

从图上看，向量不在直线上，也就不在向量空间里。“对于加法及乘法两种运算封闭”也可以理解为，只用加法和乘法两种运算才能把与向量组线性相关的所有向量封闭在向量空间里。

再看一个二维向量不共线的例子。给出二维向量组和。向量组构成矩阵

那么有

向量线性无关，且是向量组B的最大无关组，那么向量就生成一个二组向量空间（二维空间）。其图形，如下图：

由于两线共面，向量和生成的向量空间就是二维空间的一个子集。

向量组又叫向量空间的基，这里的“基”可以理解为基石的意思，以为基石，通过线性变换，撑起整个向量空间。

取向量，与矩阵相乘（由于当前矩阵为方阵，可不区分行向量与列向量），有

以（5，5）为向量，则向量与向量线性相关。将向量合成矩阵

第3列-第2列-2X第1列：

可见向量组与向量组是等价的。以向量为基，可以构建无穷多个等价向量组，而这些向量组都在二维向量空间里面。当然，并不是二维向量空间唯一的基。，那么，（1，3）和（2，-4）也是向量空间的基。

既然向量空间是个集合，那么可以用集合的形式写出来，例如：

其实我们可以从字面上去理解它，把看作空间维度，每一组代表一个维度，说它是维度轴线上的个坐标值也行。

假设当前空间是四维的，以命名各个维度。那么给出一个向量组： ，却只能构造三条向量线段：，因为是原点嘛。

那问题来了，向量空间是几维的？

从集合形式看，它应该是三维的，因为0是固定值的，第一个维度无法呈现。

从向量组构建的向量线段数量看，向量空间也是三维的，两线共面，三线一体嘛。

向量组是线性相关的，可以用线性表达，即。向量空间V的最大无关组是，也说明它是三维的。

反过来，集合未必是向量空间，比如下面的集合：

从集合的形式看，1是固定值，第一个维度无法呈现，它的维度是维的，但却能构造条向量线段，两者是冲突的。由此，可以判定这里的不是向量空间。