排列组合专题

排列组合专题例 1 四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜 现在要求每个人去品尝一道菜 但不能尝自己做的那道菜 问共有几种不同的尝法 A 60 种 B 46 种 C 40 种 D 20 种 A 1680 B 1640 C 36 D 72

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【错位排列】

排列好的n个元素,经过一次再排列后,每个元素都不在原先的位置上,则称为这n个元素的一个错位排列;

公式1:

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公式2:

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错位题型最直接的就是记住公式:一个元素错位重排的时候情况为0(因为只有一个,不可能排错),两个元素错位重排情况为1,三个为2,四个为9,五个为44,…………。从0,1,2,9,44可以看出后面的数为前面两数和的倍数,那我们后面的情况也就不难推导出来。

【例1】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜,现在要求每个人去品尝一道菜,但不能尝自己做的那道菜,问共有几种不同的尝法?( )

A.6种 B.9种 C.12种 D.15种

【答案】显然是一个错排问题,4个人的错排:D4=9 ,选B

【例2】五个瓶子都贴有标签,其中恰好贴错了三个,则贴错的可能情况有多少种? ( )

A.60种 B.46 种 C.40种 D.20种

【答案】本题也是一个错排问题,但是需要先分步计数,第一步:可以先5选3组瓶子和标签,有10种选法,第二步:再算出3个瓶子贴错标签的情况D3=2,所以总的情况数为:N=10×2=20种.选D.

练习1:要把A、B、C、D四包不同的商品放到货架上,但是,A不能放在第一层,B不能放在第二层,C不能放在第三层,D不能放在第四层,那么,不同的放法共有( )种。

A.6 B.7 C.8 D.9

【答案】各自不能放到想放的位置,典型的错排问题,选D

练习2:(2021·湖南师范大学附属中学月考)若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同),现将这五张卡片放入一个不透明的箱子里,并搅拌均匀,再让这5人在箱子里各拿一张,恰有1人拿到自己写的卡片的方法有(  )

A.20种 B.90种 C.15种 D.45种

【答案】先分步计数,里面涉及到一个错排问题.第一步,先5组中有4组错排列,有5种情况.第二步:4个的错排列有9种情况.∴N=45.选D

【依次插空(定序问题)】

如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变,则可以考虑将这m个元素排好位置,再将n-m个元素一个个插入到队伍当中,此时只有一种情况(注意每插入一个元素,下一个元素可选择的空位为n+1)(注意:这种类型通常是一个一个依次插空)

【例1】在一张节目单中原来有六个节目,若保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,则所有不同的添加方法有多少种?

答案:法1:可以先将这六个节目按照开始要求的顺序排好,一共有1种排法,其他的三个节目再依次插孔就可以了.∴N=1×7×8×9=504

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注意:有几组定序,就除以几个全排

练习:元宵节灯展后,如图挂着的有9个不同的灯笼需要取下,每次取1盏,共有多少种不同的取法( )

A.1680 B. 1640 C.36 D.72

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答案:这种问题感觉摸不着头脑,其实也是定序问题,因为每组的三个灯笼在取下的时候都是顺序固定的.因此直接用定序公式:A99/A33.A33.A33=1680种

【相同元素分组(隔板法)】

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注意:所有隔板法都可以用换元法求解,转换为至少分得一个的方法。 隔板法的本质:x+y+z…=n,n∈Z+的正整数解的个数

【例1】(1)把16个相同的球放到三个不同盒子中,要求每个盒子都有球,则不同的放球方法是多少?

答案:16个相同球,分到3个不同盒子,只用在16个球之间切三刀即可,每一种切法对应一种分法.

一共有:C15-2=105种.

(2) 把16相同的个球放在编号为1,2,3的三个盒子中,要求1号盒子至少1球,2号盒子至少2球,3号盒子至少3球,则不同的放球方法是多少?

分析:隔板法两个标志性信息:1.相同元素分配 2.每个盒子至少放1个元素.但是本题每个盒子里面放的元素不是至少1个.

因此这种类型要用提前放球法:2号盒子提前放1个,3号盒子提前放2个。这样就能满足每个盒子至少再放一个球即可。由于2,3号盒子已经放了球了,因此只需要把剩下的13个球放到3个盒子就行,因此只用切两刀,即:C12-2=66种

(3)把16个相同的球放在三个不同盒子中,盒子可以空着不放球,则不同的放球方法是多少?

分析:隔板法两个标志性信息:1.相同元素分配 2.每个盒子至少放1个元素.但是本题每个盒子里面放的元素不是至少1个.

由于这种类型部分盒子可以空着,因此不能让他们放空,这种类型需要用到借球法:先借3个球,放到3个盒子里面,这样满足每个盒子至少1个球,由于是借的球,因此总的球个数为19个,所以将19个球分到3个盒子,也只需要切2刀,即:C18-2=153

练习:学校有10个推优名额分给1,2,3班,那么每个班级获得的推优名额数不小于班号的分法有几种?

该题目自行完成:一共有126种

【不同元素分组】

将n个不同元素放入m个不同的盒中;

不同元素的分组问题分为以下几类:

①均匀分组;②非均匀分组;③均匀分组与分配;④非均匀分组定向分配;⑤非均匀分组不定向分配;

【例1】6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1)平均分成三堆; ……………..均匀分组问题

(2)平均分给甲、乙、丙3人; …………….均匀分组分配问题

(3)一堆1本,一堆2本,一堆3本; …………….非均匀分组问题

(4)甲得1本,乙得2本,丙得3本; ……………非均匀分组定向分配

(5)一人得1本,一人得2本,一人得3本; …………. 非均匀分组不定向分配

该类型遵循先分组,再分配的原则,先将分组情况数找到,再将分配的情况数找到,最后乘起来即可.

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排列组合总总结:排列组合的主要还是以分类计数和分步计数为基本思想,然后以排列组合方式为手段的一种计数问题。在应用过程中,要将不同的题目类型进行分类,不同的类型对应不同的方法,既可以解决问题.

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