正三边形到正十七边形，如何用尺规作图作出？

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第一大类：

我们先看第一大类不能用尺规作图实现而采用近似画法的正7,9,11,13,14,15边形。

正七边形:

近似正七边形的作法：

1，以圆心O，定长R为半径画圆，并作出两条互相垂直的直径MN，AP。

2，七等分直径MN。

3，以M为圆心，MN为半径画弧，交OA延长线于A1，交OP延长线于P1。

4，将A1，P1与直径上第2，4，6个等分点并延长，交圆周于B，C，D，E，F，G。

5，连接MBCDEFG则得正七边形。

这是一个近似的做法。

改进：由4步确定边长改为3 步确定边长

1；作圆，圆心为O

2；作弦长为半径大小的弦AB

3；作弦AB的中垂线，垂足为C

4；以OC为长度单位（OC即是所作正七边形边长），划分圆，并连接各分点，即是所求正七边形。

正九边形，正十一边形，正十三边形，正十四边形，正十五边形只需将以上的MN等分成相应的份数，然后画弧，延长，相交，连接，即可，对于正十四边形还可以通过对正七边每条边等分即可得。

（正九边形）

（正十一边形）

（正十三边形）

（正十四边形）

（正十五边型）

第二大类：

可以用尺规作图实现的正多边形

正三边形：

（1）做任意长度线段AB

（2）分别以A、B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧交于一点C

（3）连接AC、BC

则三角形ABC即为所求

正四边形：

正四边形:用圆规做圆,过圆心做互相垂直的直径,依次连接直径与圆的交点

正五边形：

①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.

② 平分半径ON,得OK=KN.

③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.

④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

对于6,8,10,12我们可以通过相应的1/2边即3,4,5,6再平分即可得，正16边形方法类似。

（正六边形）

（正八边形）

（正十边形）

（正十二边形）

经过一番跋涉，我们终于来到了最后一个，也是最难的一个——正十七边形

先看图

看完之后，你是否是这样？

不急，我们慢慢说

1.给一圆O，作两垂直的直径AB、CD.

2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE.

3.作∠CEB的平分线EF.

4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P.

5.作∠GEH=45°,交CD于Q.

6.以CQ为直径作圆,交OB于K.

7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.

8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.

9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.

看完了，来听个故事：

一天晚上，19岁正读博的高斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的一个问题——尺规做正十七边形留给了高斯，高斯优哉游哉得咬着笔头写着作业，然后表情严肃起来，妈的这题有点BT啊！想啊想，通宵一晚，伴着拂晓的晨光，高斯铅笔一扔，胸口长舒一口气。心说，唉，最近智商又下降了，想我9岁算1+2+3……+100也没用这么长时间啊，这么个破题居然花了一晚上时间！第二天拿给博导，博导惊了，对他说，这可是阿基米德牛顿都没做出来的题啊！你真是个天才啊！后来高斯给出了尺规作图正多变形的充分必要条件，也就是刚开始的那个定理。