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01.整除特征在数论体系中的地位
小学奥数七大体系中,数论体系可按以下18个讲次来教学——
- 奇数与偶数
- 数的拆分
- 带余除法
- 周期问题
- 页码问题
- 整除性质与特征
- 位值原理
- 进位制
- 因数与倍数
- 质数与合数
- 因数定理
- 短除模型
- 余数性质
- 同余
- 同余式与不定方程
- 完全平方数
- 中国剩余定理
- 数论综合(与其他体系交叉,常见的有组合体系、计数体系)
以上讲次可粗略分为“整除性质”“因倍质合”“余数性质”三大阶段.
“整除特征”可以说是小学数论体系里面非常重要的入门内容——在学习“整除特征”之前,从“奇数与偶数”到“页码问题”,全都可以当做算术题、应用题来看待,不必专门强调它的“数论属性”;而从“整除特征”开始,数论知识的“天梯”才第一次在学生面前铺开,由于之后的讲次层层递进,环环相扣,想要学好数论,就必须溯源到“整除特征”.
“整除特征”最主要的教学目标是——让学生熟练判断一个大数能否被2,3,4,5,7,8,9,11,13,25,33,99,101,111,125,333,999,1001整除,以及,在不能整除的情况下,能否快速算出余数.
在学习“整除特征”时,会提前涉及到“位值原理”“因数倍数”“余数性质”等后续知识,这也为今后正式学习做了一定的铺垫.
02.如何从整体把握整除特征?
无论是老师授课,还是学生学习,在正式刷题之前,最好要对整除特征的整体脉络有一个初步把握.
本文尝试按照“整除、因倍、位值原理”、“整除性质”、“整除特征”、“末尾系整除特征”、“和系整除特征”、“差系整除特征”、“整除特征表”这七块内容进行梳理,最终得出结论——整除特征其实就是“给大数看面相”,“一叶而知秋”.
03.整除、因倍、位值原理
【整除】
我们知道,对于带余除法,可总结出以下关系式——
被除数÷除数=商……余数
如果用非负整数a、b、q、r分别表示被除数、除数、商、余数(其中b不等于0),那么以上关系式可写成——
a÷b=q……r
如果r=0,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a,记为b|a.
例如对于带余除法“105÷5=21……0”,我们可以说105能被5整除,也可以说5能整除105,记为5|105.
【因倍】
如果r=0,我们也可以说a是b或q的(整)倍数,又因为a÷b=q可化为a=b×q,我们还可以说b和q是a的因数.
例如对于带余除法“105÷5=21……0”,我们可以说105是5或21的倍数,也可以说5和21是105的因数.
【最大公因数】
因为30=1×30=2×15=3×10=5×6,所以30的因数有:1、2、3、5、6、10、15、30.
因为36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,所以36的因数有:1、2、3、4、6、9、12、18、36.
观察发现1、2、3、6既是30的因数也是36的因数,于是把1、2、3、6称为30与36的公因数,而这些公因数中最大的是6,我们就把6叫做30与36的最大公因数,记为(30,36)=6.
【位值原理】
一个多位数比如“1111”,哪怕都是数字“1”,但由于“站位”不同,所表示的数值也不同——也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”,两者共同决定了该位上数的大小.
例如:1111=1×1000+1×100+1×10+1×1,123=1×100+2×10+3×1.
04.整除性质
在知道了整除、因倍等概念之后,我们可以用它们来推导以下性质——
【性质1】和差
如果整数a和整数b都能被整数c整除,则它们的和或差也能被c整除.
即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b).
例如:5|15,5|10,那么5|(15±10).
但必须注意的是,以上叙述反过来不成立,即两数的和或差能被c整除,这两个数不一定能被c整除.
例如:5|(11+29),但11、29均不能被5整除.
【性质2】传递
如果整数a能被整数b整除,b又能被整数c整除,那么a也能被c整除.
即:如果b|a,c|b,那么c|a.
例如:15|45,5|15,那么5|45.
【性质3】乘积
如果整数a能被整数b整除,也能被整数c整除,且b和c最大公因数是1,那么a一定能被b与c的乘积整除.
即:如果b|a,c|a,并且(b,c)=1,那么bc|a.
例如:如果3|60,5|60,并且(3,5)=1,那么(3×5)|60.
【性质4】因数
如果整数a能被整数b与整数c的积整除,那么a也能被b或c整除.
即:如果bc|a,那么b|a,c|a.
例如:(6×9)|108,那么6|108,9|108.
在以上例子中,尽管6与9的最大公因数不是1,性质4依然成立,可见性质4并没有像性质3那样要求b与c的最大公因数是1.
【性质5】扩倍
如果整数a能被整数b整除,那么am也能被bm整除.(m是非零整数)
即:如果b|a,那么bm|am.(m是非零整数)
例如:7|21,那么(7×3)|(21×3).
【性质6】复合
如果整数a能被整数b整除,整数c能被整数d整除,那么ac也能被bd整除.
即:如果b|a,d|c,那么bd|ac.
例如:3|9,5|10,那么(3×5)|(9×10).
05.整除特征
(1)整除是带余除法的一种特殊情况
在被除数a很大(比如a=5788)并且除数b相对很小(比如b=2,3,5,7,11,13,17,19)的情况下,a除以b的商q会很大,又因为余数r小于除数b,除数小,余数只会更小,所以比起远大于余数r的商q,我们往往更关心余数r是几.
例如:a在数表中的位置,a天后是星期几,某数的a次方个位是几……解决这些问题只需要我们用a除以周期b,算出余数r即可.而余数有几种情况,完全取决于除数,如果除数是b,则余数r就有b种情况——比如a除以7的余数就恰好有7种情况:0,1,2,3,4,5,6.
根据整除的定义,我们发现,整除是余数为0的一种特殊情况.
本文探讨的整除特征,其实就是在讨论大数a的哪些特征可以帮助快速判断a除以b的余数r是否为0.
所以我们应该知道,余数问题是一个更大的范围,它包含了整除问题.
(2)部分与整体
接下来,让我们进一步理解整除特征.
所谓特征,就是一个整体区别于其他整体的部分,比如一个人的脸,脸(部分)就是人(整体)的特征,通过脸的特征信息,人脸识别系统就能区别对待不同的人.
有一句哲语说“一即是全,全即是一”,说的是无论你从微观还是从宏观去探索这个世界,得到的真理其实是一样的.这种观点认为,从一个整体中取走一小块,这个小块却包含了它所属整体的全部信息,这就类似于采集一只羊的组织样品,只需用该样品中的DNA就能克隆一只完整的羊.
不过在数学上,这个观点不一定正确,一般来说,你无法从一个真子集推知它的全集.不过,我们有时候并不关心全集,而是关心这个全集在某个特定操作下的结果是多少.一个集合并非它的所有部分都参与决定这个结果,那么针对该特定操作,我们只需要找到与之相关的那部分真子集,就足以得出结论,而这个真子集,也可以称为关于某个操作的特征.
(3)整除特征
对于一个大数a,除以某些特殊除数b,a的一些经过精心处理(其实就是利用位值原理去构造)的特征数确实是可以透露它的整除情况的——即我们只需要通过a的一部分信息就能得出a除以b的余数是多少.
(但如果是求a除以b的商和余数分别是多少,那就需要知道a的全部信息了.)
我们把一个大数a的末一位(末n位),数字和(数段和),数字奇偶差(数段奇偶差)统一命名为这个大数的特征数x,如果x能被整数b整除,那么a也能被整除;如果x除以b的余数是r,那么这个a除以b的余数也是r.
所以特征数x就好比大数a的脸部特征,我不需要看清大数a的全身,只看脸(特征数x)就能知道它的整除情况或余数情况.
(4)构造特征数的整体思路
在分别介绍“末尾系”“和系”“差系”之前,先简单提一下构造特征数的整体思路——我们把一个大数a分解成两部分的和,其中一大部分是给定除数b的倍数(这部分无论有多大,除以b的余数始终为0,可认为对余数没有任何贡献),那么只需看剩下的一小部分(特征数x)除以b的情况如何,就能知道a除以b的情况如何了.
06.末尾系整除特征
(1)为什么能被2或5整除的数的特征数是末一位?
在小低年级学习奇数与偶数时,我们就发现了2的倍数(即偶数)的个位数字规律:0、2、4、6、8——无论被除数a是一个几位数,只要a的个位(末一位)能被2整除,a就能被2整除;只要a的个位(末一位)除以2余1,a除以2就余1.
5也如此,无论被除数a是一个几位数,只要a的个位(末一位)能被5整除,那么a就能被5整除;只要a的个位(末一位)除以5余r(r=1,2,3,4),那么a除以5就余r.
那么,为什么能被2和5的整除的数的特征数都是末一位呢?
(为了表述方便,接下来我们把“能被2和5的整除的数的特征数”简写为“2和5的整除特征”)
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以2或5的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==+7=10×+7.
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“10×”这部分能被10整除,又因为10=2×5,根据整除性质4可知——
“10×”能被2整除,也能被5整除.
换一个说法:“10×”除以2的余数为0,除以5的余数也为0.
根据整除性质1,如果a(a=10×+7)想要被2或5整除,在第一部分“10×”已经被2或5整除的情况下,第二部分“7”也要被2或5整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被2或5整除的关键.
如果“7”除以2或5余数为0,那么a就能被2或5整除;
如果“7”除以2或5余数为r(r=1,2,3,4),那么a除以2或5的余数就是r.
(这里用到了余数的可加性,虽然还没有正式学习余数的性质,但是可以这样给学生讲——a=10×+7,第一部分“10×”除以2或5不会产生余数,如果a除以2或5出现了余数,那么这个余数一定来自于第二部分“7”)
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以2或5时,只有它的末一位参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的末一位称为2或5的整除特征.
这就好比“”是一条毛毛虫,“7”是它的脸,其余部分是它的身子,我们只需要看脸就能知道这条“毛毛虫”除以2或5的整除(余数)情况了.
(2)为什么4的整除特征不是末一位而是末两位?
我们知道——无论被除数a是一个几位数(至少是两位数),只要a的末两位能被4整除,a就能被4整除;只要a的末两位除以4余r(r=1,2,3),a除以4就余r.
——为什么除数4作为一个一位数,它的整除特征却是末两位?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以4的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==+67=100×12345+67.
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“100×12345”这部分能被100整除,又因为100=4×25,根据整除性质4可知——
“100×12345”能被4整除,也能被25整除.
换一个说法:“100×12345”除以4的余数为0,除以25的余数也为0.
根据整除性质1,如果a(a=100×12345+67)想要被4或25整除,在第一部分“100×12345”已经被4或25整除的情况下,第二部分“67”也要被4或25整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被4或25整除的关键.
如果“67”除以4或25余数为0,那么a就能被4或25整除;
如果“67”除以4或25余数为r,那么a除以4或25的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以4或25时,只有它的末两位参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的末两位称为4或25的整除特征.
并且我们还知道了——之所以4的整除特征不是末一位,是因为(在要求初学者掌握的整除特征中)除数4没有专属于自己的整除特征,作为100的因数,它和它的“搭档”25都依附于除数100的整除特征,因为除数100的整除特征是被除数a的末两位,所以4和25的整除特征都是末两位.
(3)为什么8的整除特征不是末一位而是末三位?
我们知道——无论被除数a是一个几位数(至少是三位数),只要a的末三位能被8整除,a就能被8整除;只要a的末三位除以8余r(r=1,2,3,4,5,6,7),a除以8就余r.
——为什么除数8作为一个一位数,它的整除特征却是末三位?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以8的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==+567=1000×1234+567.
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“1000×1234”这部分能被1000整除,又因为1000=8×125,根据整除性质4可知——
“1000×1234”能被8整除,也能被125整除.
换一个说法:“1000×1234”除以8的余数为0,除以125的余数也为0.
根据整除性质1,如果a(a=1000×1234+567)想要被8或125整除,在第一部分“1000×1234”已经被8或125整除的情况下,第二部分“567”也要被8或125整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被8或125整除的关键.
如果“567”除以8或125余数为0,那么a就能被8或125整除;
如果“567”除以8或125余数为r,那么a除以8或125的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以8或125时,只有它的末三位参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的末三位称为8或125的整除特征.
并且我们还知道了——之所以8的整除特征不是末一位,是因为(在要求初学者掌握的整除特征中)除数8没有专属于自己的整除特征,作为1000的因数,它和它的“搭档”125都依附于除数1000的整除特征,因为除数1000的整除特征是被除数a的末三位,所以8和125的整除特征都是末三位.
07.和系整除特征
(1)为什么9的整除特征不是末一位而是数字和?
我们知道——无论被除数a是一个几位数,只要a的(一位一段和)数字和能被9整除,a就能被9整除;只要a的(一位一段和)数字和除以9余r(r=1,2,3,4,5,6,7,8),a除以9就余r.
那么,为什么9的整除特征不是末一位而是数字和呢?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以9的余数,能否只看a的末几位呢?显然不能——因为无论是,还是,又或是,这些整十、整百、整千的数不一定都能被9整除,我们不能说“只有a的末几位才对除以9的余数有贡献”.所以我们不能只在a的末几位里寻找9的整除特征.
但是我们可以这样做:
a=
=1×+2×+3×10000+4×1000+5×100+6×10+7
=1×(+1)+2×(99999+1)+3×(9999+1)+4×(999+1)+5×(99+1)+6×(9+1)+7
=1×+2×99999+3×9999+4×999+5×99+6×9+(1+2+3+4+5+6+7)
=9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)+(1+2+3+4+5+6+7)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)”这部分能被9整除,又因为3|9,根据整除性质2可知——
“9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)”能被9整除,也能被3整除.
换一个说法:“9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)”除以9的余数为0,除以3的余数也为0.
根据整除性质1,如果a(a=9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)+(1+2+3+4+5+6+7))想要被9或3整除,在第一部分“9×(1×+2×11111+3×1111+4×111+5×11+6×1)”已经被9或3整除的情况下,第二部分“(1+2+3+4+5+6+7)”也要被9或3整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被9或3整除的关键.
如果“(1+2+3+4+5+6+7)”除以9或3余数为0,那么a就能被9或3整除;
如果“(1+2+3+4+5+6+7)”除以9或3余数为r,那么a除以9或3的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以9或3时,只有它的数字和(一位一段和)参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的数字和(一位一段和)称为9或3的整除特征.
(2)为什么11的整除特征可以是两位一段和?
我们知道——无论被除数a是一个几位数(至少是两位数),只要a的(两位一段)数段和能被99整除,a就能被99整除;只要a的(两位一段)数段和除以99余r,a除以99就余r.
那么,为什么11的整除特征也可以是两位一段和呢?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以99的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==0
=01×+23×10000+45×100+67
=01×(+1)+23×(9999+1)+45×(99+1)+67
=01×+23×9999+45×99+(01+23+45+67)
=99×(01×10101+23×101+45×1)+(01+23+45+67)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“99×(01×10101+23×101+45×1)”这部分能被99整除,又因为33|99,11|99,根据整除性质2可知——
“99×(01×10101+23×101+45×1)”能被99整除,也能被33整除,还能被11整除.
换一个说法:“99×(01×10101+23×101+45×1)”除以99的余数是0,除以33的余数也是0,除以11的余数还是0.
根据整除性质1,如果a(a=99×(01×10101+23×101+45×1)+(01+23+45+67))想要被99或33或11整除,在第一部分“99×(01×10101+23×101+45×1)”已经被99或33或11整除的情况下,第二部分“(01+23+45+67)”也要被99或33或11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被99或33或11整除的关键.
如果“(01+23+45+67)”除以99或33或11余数为0,那么a就能被99或33或11整除;
如果“(01+23+45+67)”除以99或33或11余数为r,那么a除以99或33或11的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以99或33或11时,只有它的“两位一段和”参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的“两位一段和”称为99或33或11的整除特征.
(特别提醒:“两位一段和”在分段时应按照从末位到首位,即从右至左的顺序,如果最左侧仅剩一个数字,可添零补足两位.)
(3)为什么111的整除特征可以是三位一段和?
我们知道——无论被除数a是一个几位数(至少是三位数),只要a的(三位一段)数段和能被999整除,a就能被999整除;只要a的(三位一段)数段和除以999余r,a除以999就余r.
那么,为什么111的整除特征也可以是三位一段和呢?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以999的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==00
=001×+234×1000+567
=001×(+1)+234×(999+1)+567
=001×+234×999+(001+234+567)
=999×(001×1001+234×1)+(001+234+567)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“999×(001×1001+234×1)”这部分能被999整除,又因为333|999,111|999,根据整除性质2可知——
“999×(001×1001+234×1)”能被999整除,也能被333整除,还能被111整除.
换一个说法:“999×(001×1001+234×1)”除以999的余数是0,除以333的余数也是0,除以111的余数还是0.
根据整除性质1,如果a(a=999×(001×1001+234×1)+(001+234+567))想要被999或333或111整除,在第一部分“999×(001×1001+234×1)”已经被999或333或111整除的情况下,第二部分“(001+234+567)”也要被999或333或111整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被999或333或111整除的关键.
如果“(001+234+567)”除以999或333或111余数为0,那么a就能被999或333或111整除;
如果“(001+234+567)”除以999或333或111余数为r,那么a除以999或333或111的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以999或333或111时,只有它的“三位一段和”参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的“三位一段和”称为999或333或111的整除特征.
(特别提醒:“三位一段和”在分段时应按照从末位到首位,即从右至左的顺序,如果最左侧仅剩不到3个数字,可添零补足三位.)
08.差系整除特征
(1)为什么11的整除特征除了两位一段和还可以是一位一段奇偶差?
11存在多个整除特征,其中包括——无论被除数a是一个几位数,只要a的“一位一段奇偶差”能被11整除,a就能被11整除;a的“一位一段奇偶差”除以11余r,那么a除以11就余r.
为什么11存在以上整除特征呢?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以11的余数,除了两位一段和以外,有没有别的巧算办法呢?
还可以这样做:
a=
=1×+2×+3×10000+4×1000+5×100+6×10+7
=1×(+1)+2×(-1)+3×(9999+1)+4×(1001-1)+5×(99+1)+6×(11-1)+7
=1×+2×+3×9999+4×1001+5×99+6×11+(1-2+3-4+5-6+7)
=11×(1×90909+2×9091+3×909+4×91+5×9+6×1)+(1-2+3-4+5-6+7)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“11×(1×90909+2×9091+3×909+4×91+5×9+6×1)”这部分能被11整除.
换一个说法:“11×(1×90909+2×9091+3×909+4×91+5×9+6×1)”除以11的余数为0.
根据整除性质1,如果a(a=11×(1×90909+2×9091+3×909+4×91+5×9+6×1))想要被11整除,在第一部分“11×(1×90909+2×9091+3×909+4×91+5×9+6×1)”已经被11整除的情况下,第二部分“(1-2+3-4+5-6+7)”也要被11整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被11整除的关键.
如果“(1-2+3-4+5-6+7)”除以11余数为0,那么a就能被11整除;
如果“(1-2+3-4+5-6+7)”除以11余数为r,那么a除以11的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以11时,只有它的“一位一段奇偶差”参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的“一位一段奇偶差”称为11的整除特征.
(特别提醒:“一位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位,即从右至左的顺序,第1、3、5…段(奇数段)相加,第2、4、6…段(偶数段)相加,然后奇数段之和减去偶数段之和.)
(2)为什么少有人关心101的整除特征?
101是一个不常被提到的除数,不常见的原因并非它自身比较大,而是“没有更小的除数是它的因数”——101是一个质数.由于没有更小的除数“共享”101的整除特征,所以我们很少会用到它的整除特征——无论被除数a是一个几位数(至少是两位数),只要a的“两位一段奇偶差”能被101整除,a就能被101整除;只要a的“一位一段奇偶差”除以101余r,a除以101就余r.
为什么101存在以上整除特征呢?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以101的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a=
=01×+23×10000+45×100+67
=01×(-1)+23×(9999+1)+45×(101-1)+67
=01×+23×9999+45×101+(67-45+23-01)
=101×(01×9901+23×99+45×1)+(67-45+23-01)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“101×(01×9901+23×99+45×1)”这部分能被101整除.
换一个说法:“101×(01×9901+23×99+45×1)”除以101的余数为0.
根据整除性质1,如果a(a=101×(01×9901+23×99+45×1)+(67-45+23-01))想要被101整除,在第一部分“101×(01×9901+23×99+45×1)”已经被101整除的情况下,第二部分“(67-45+23-01)”也要被101整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被101整除的关键.
如果“(67-45+23-01)”除以101余数为0,那么a就能被101整除;
如果“(67-45+23-01)”除以101余数为r,那么a除以101的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以101时,只有它的“两位一段奇偶差”参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的“两位一段奇偶差”称为101的整除特征.
(特别提醒:“两位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位,即从右至左的顺序,第1、3、5…段(奇数段)相加,第2、4、6…段(偶数段)相加,然后奇数段之和减去偶数段之和.)
(3)为什么7作为一位数,它的整除特征却是三位一段奇偶差?
我们知道——无论被除数a是一个几位数(至少是三位数),只要a的“三位一段奇偶差”能被7整除,a就能被7整除;只要a的“三位一段奇偶差”除以7余r,a除以7就余r.
——为什么除数7作为一个一位数,它的整除特征却是三位一段?
让我们来看以下例子——
假设a=,想要求除以7的余数,除了直接列竖式计算以外,有没有巧算办法呢?
还可以这样做:
a==00
=001×+234×1000+567
=001×(+1)+234×(1001-1)+567
=001×+234×1001+(001-234+567)
=1001×(001×999+234×1)+(001-234+567)
通过以上操作,a被分成了两部分,其中“1001×(001×999+234×1)”这部分能被1001整除,又因为7|1001,11|1001,13|1001,根据整除性质2可知——
“1001×(001×999+234×1)”能被1001整除,也能被7、11、13整除.
换一个说法:“1001×(001×999+234×1)”除以1001的余数是0,除以7、11、13的余数也是0.
根据整除性质1,如果a(a=1001×(001×999+234×1)+(001-234+567))想要被7或11或13整除,在第一部分“1001×(001×999+234×1)”已经被7或11或13整除的情况下,第二部分“(001-234+567)”也要被7或11或13整除才行——于是第二部分就成了决定a是否能被7或11或13整除的关键.
如果“(001-234+567)”除以7或11或13余数为0,那么a就能被7或11或13整除;
如果“(001-234+567)”除以7或11或13余数为r,那么a除以7或11或13的余数就是r.
(设a等于一个任意的七位数 ,甚至一个任意的多位数,请读者自证以上结论仍成立.)
通过以上例子,我们知道了一个多位数a除以7或11或13时,只有它的“三位一段奇偶差”参与决定余数r(r=0则整除),所以我们把a的“三位一段奇偶差”称为7或11或13的整除特征.
(特别提醒:“三位一段奇偶差”在分段时应按照从末位到首位,即从右至左的顺序,第1、3、5…段(奇数段)相加,第2、4、6…段(偶数段)相加,然后奇数段之和减去偶数段之和.)
并且我们还知道了——之所以7的整除特征不是“一位一段”,是因为(在要求初学者掌握的整除特征中)除数7没有专属于自己的整除特征,作为1001的因数,它和它的“搭档”11、13都依附于除数1001的整除特征,因为除数1001的整除特征是被除数a的“三位一段奇偶差”,所以7、11、13的整除特征都是“三位一段奇偶差”.
09.整除特征表
在分别学习了“末尾系”“和系”“差系”的整除特征之后,很有必要通过一个表格对以上知识进行一个汇总——
以下是对上表内容进一步的补充:
- 11有多种整除特征,通常情况下,建议使用专属于11的整除特征——“一位一段奇偶差”,因为这个特征用起来最方便. (读者可思考:除了11,别的除数是否也存在多种整除特征?)
- 给多位数分段时应按照从末位到首位(从右至左)的顺序,若最左侧仅剩的数字不足一段,可添零补位.
- 除数整除特征数,则除数整除被除数;特征数除以除数余几,则被除数除以除数就余几.
- 差系特征数的计算有两种方式:①如果仅仅是为了判断整除,把被除数分段后先分别计算奇数段之和与偶数段之和,然后用“较大的和”减“较小的和”,所得结果即特征数;②如果不仅是为了判断整除,在不能整除时还要算出余数,那么就只能用奇数段之和减偶数段之和来计算特征数,但是有可能奇数段之和小于偶数段之和导致不够减,这种情况就要在原算式基础上加若干个除数,直到够减为止.
- 为什么在计算差系特征数的时候,可以在原算式的基础上加若干个除数?我们用整除性质来证明(会涉及到同余和余数性质的知识):已知整数a是被除数,正整数b是除数,整数q是商,整数r是余数,另设k为正整数,那么有:a=bq+r;已知1|q,1|k,根据整除性质5,有b|bq,b|bk;又根据整除性质1,得到:b|(bq+bk);那么(bq+bk)÷b的余数是0,则(bq+bk+r)÷b的余数是r,也就是(a+bk)÷b的余数是r. 所以在被除数的基础上增加若干个除数,余数不变.
- 根据整除性质2,若较小除数是较大除数的因数,那么较小除数能共享较大除数的整除特征.比如5的整除特征原本是末一位,但由于5|25,5|125,所以末两位、末三位也可以作为5的整除特征.
- 反之则不然,哪怕较小除数是较大除数的因数,较大除数也不能共享较小除数的整除特征.比如25的整除特征原本是末两位,尽管5|25,但是25无法使用末一位作为整除特征.
10.总结
本文从“整除”、“因倍”、“位值原理”等基础知识出发,介绍了初学者有必要了解的“整除性质”,然后运用“位值原理”去构造,运用“整除性质”去推理,全面系统地得出了“末尾系”、“和系”、“差系”的“整除特征”,最后汇总整理出了具有实用价值的“整除特征表”.
无论是末尾系、和系还是差系,无论是一位一段、两位一段还是三位一段,利用整除特征得出的特征数,都可看作“大数的面相”——我们只需看到“大数的脸”,就足以判断它除以特定除数的整除情况.
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