一组积分公式，三种推导方法，高等数学实在太好玩了

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#头条创作挑战赛#

老黄一开始自己推导了正弦的正整数幂或余弦的正整数幂的不定积分公式。

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那是在《老黄学高数》系列学习视频第264讲和第265讲分享的内容，老黄是按指数是奇数或偶数两种情况分开推导的。

当时把老黄兴奋的，以为发现了别人没有发现的数学公式了。虽然有点乌龙，但那种开心也是值得的。

这是这组积分公式(一共两个)的第一种推导方法。后来老黄看到，这两个公式的递推形式，是高数教材中是有提供的，但并没有提供最终的形式。因此老黄就利用教材的递推公式，重新推导这组公式。

这其实是老黄在数学探究中遇到的一次危机。因为按教材的递推公式推导出来的公式，有一部分和老黄自己推导的公式是完全不同的。这说明老黄之前推导的结论有可能是错误的。

为此老黄进行了大量的检验，才确保两种形式都是正确的。这是因为用不同的方法求不定积分，可能得到形式不同的原函数，但结果是统一的。它们可能相等，也可能只相差一个常数。

以上是《老黄学高数》系列学习视频第267讲分享的内容，这是这组公式的第二种推导方法。原以为这样就结束了，没想到老黄很快又发现了第三种推导方法。那是基于正弦的整数幂与余弦的整数幂的积的不定积分的递推公式：

这个递推公式在《老黄学高数》系列学习视频第273讲中进行了详细的证明。因为这个递推公式，老黄又看到了推导上面那组公式的第三种方法，即当m=0, 或n=0时的不定积分公式。

因为有了前面的经验，这次并没有给老黄造成危机感。而是老黄坚信，这次推出来的公式，只能是上面推导出来的形式之一，不可能出现新的形式了。下面先看关于余弦的公式的推导过程：

最后得到的公式形式如下：

和上面的两种形式认真校对之后，发现结果和第二种推导方法得到的形式是完全一致的。偶数幂就没有必要检验了。老黄随便写一道指数等于5的例题，用两种形式做了一下，如图：

可以看到两个结果形式上有很大的不同，不考虑常数项C的话，它们可能相等，也有可能相差一个常数。下面老黄就证明它们相等：

本来余弦相关的公式已经推导出来，就没有必要再用同样的方法探究正弦相关的公式了，因为我们可以利用正弦和余弦的关系，转化成余弦的公式形式去推导。不过老黄在这里仍不厌其烦地推导了一下：

得到的公式形式和第一种推导方法得到的形式对比如下：

这就是利用三种不同的方法推导同一组不定积分公式的全部过程，如果不是亲自探究，亲身经历的，是很难体验到这里面的乐趣的。有兴趣的小伙伴们，不妨自己继续深入探究。老黄接下来还要利用最后这个递推公式，推导好几个与三角函数有关的大型公式，不妨试试我们谁推得又快又准。