伟大数学家莱布尼茨的介绍

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莱布尼茨，这位声名卓著的数学大家，在数学领域的成就堪称辉煌。他的智慧之光如璀璨星辰，照亮了数学发展的漫漫征途。其深邃的思维和非凡的创造力，为数学的大厦添砖加瓦，铸就了不朽的功勋。他的名字，已然成为数学史上熠熠生辉的璀璨明珠，被后世传颂，永载史册。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646 年－1716 年），乃德国之哲学家、数学家。其所涉领域涵盖法学、力学、光学、语言学等逾 40 个范畴，素有“十七世纪的亚里士多德”之美誉。且与牛顿先后各自独立发明了微积分。

一、人物简述

戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，德国至为重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家与哲学家，堪称举世罕见的科学奇才。他与牛顿（1643 年 1 月 4 日—1727 年 3 月 31 日）同为微积分的创立者。其研究成果广泛涉及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等诸多领域。“世界上没有两片完全相同的树叶”此语便出自其口。他亦是最早探究中国文化与中国哲学的德国人，为丰富人类的科学知识宝库立下了不可磨灭的功勋。

然而，因其创立了微积分，并精心构建了极为巧妙简洁的微积分符号，故而以伟大数学家之名享誉于世。自幼年之时起，莱布尼茨便显著展露了一颗璀璨思想明星的征兆。年仅 13 岁的他，阅读经院学者艰深的论文，就如同其他孩子阅读小说般轻松。他提出无穷小的微积分算法，且其发表自身成果比艾萨克·牛顿爵士将相关手稿付印早了三年，而后者宣称自己率先做出了此项发现。

莱布尼茨是个深谙世故之人，取悦于宫廷，并获知名人士庇护。他与斯宾诺莎私交甚笃，后者的哲学给他留下了深刻印象，尽管他决然与斯宾诺莎的观念分道扬镳。莱布尼茨与哲学家、神学家及文人展开了广泛的通信往来。在其宏大规划中，曾试图促成新教与天主教之间的和解，以及基督教国家之间的联合，这种联合于他所处的时代意味着欧洲联盟。他还担任过后来成为普鲁士科学院的柏林科学协会的首任会长。他曾效力于汉诺威宫廷，然而当乔治一世成为英格兰国王时，莱布尼茨未获邀请同行，或许是由于他与牛顿的争端。其公众影响力渐趋下降，1716 年，他在无人关注，甚至被其所创立的学会漠视的境况下离世，享年 70 岁。

二、人物生平

公元 1646 年 7 月 1 日，戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨降生于德国东部莱比锡的一个书香门第。其父弗里德希·莱布尼茨为莱比锡大学的道德哲学教授，其母凯瑟琳娜·施马克出身于教授之家，虔诚信奉路德新教。莱布尼茨的双亲亲自担任孩子的启蒙之师，在耳濡目染之下，莱布尼茨自幼便极为好学，天赋颇高，幼年时就对诗歌和历史怀有浓厚兴致。

不幸的是，父亲在他 6 岁时辞世，却为他留存了丰富的藏书。莱布尼茨的父亲于他年仅 6 岁时离世，留给他比金钱更为珍贵的大量藏书，知书达理的母亲肩负起儿子的幼年教导之责。正因如此，莱布尼茨得以广泛触及古希腊罗马文化，阅览众多著名学者的著述，由此获取了坚实的文化根基和明晰的学术目标。

8 岁时，莱布尼茨踏入尼古拉学校，研习拉丁文、希腊文、修辞学、算术、逻辑、音乐以及《圣经》、路德教义等。1661 年，15 岁的莱布尼茨进入莱比锡大学攻读法律，刚入学便跟上了大学二年级水准的人文学科课程，他还抓紧时光研习哲学与科学。1663 年 5 月，他凭借《论个体原则方面的形而上学争论》一文获取学士学位。在此期间，莱布尼茨还广泛阅览了培根、开普勒、伽利略等人的作品，并对他们的著述予以深入思考与评价。在聆听教授讲授的欧几里得的《几何原本》课程后，莱布尼茨对数学萌生出浓厚兴趣。

1664 年 1 月，莱布尼茨完成论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。同年 2 月 12 日，他的母亲不幸离世。18 岁的莱布尼茨自此孤身一人生活，其一生在思想、性格等方面深受母亲影响。

1665 年，莱布尼茨向莱比锡大学呈交博士论文《论身份》。1666 年，审查委员会以他过于年轻（年仅 20 岁）为由拒绝授予他法学博士学位。黑格尔认为，这或许是由于莱布尼茨哲学见解繁多，审查论文的教授们见他大力钻研哲学，心中颇为不悦。他对此愤懑不已，于是决然离开莱比锡，前往纽伦堡附近的阿尔特多夫大学，并即刻向该校提交了早已筹备好的那篇博士论文。1667 年 2 月，阿尔特多夫大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授。这一年，莱布尼茨发表了他的首篇数学论文《论组合的艺术》。此乃一篇有关数理逻辑的文章，其基本理念是欲将理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽尚不成熟，却闪耀着创新的智慧与数学的才华，其后的一系列工作使他成为数理逻辑的奠基人。

1666 年，莱布尼茨获取法学博士学位后，于纽伦堡加入了一个炼金术士团体。1667 年，借由该团体结识了政界人物博因堡男爵约翰·克里斯蒂文，并经男爵举荐给选帝侯迈因茨。自此，莱布尼茨登上政治舞台，投身外交领域，在美因茨大主教舍恩博恩麾下工作。

1671 至 1672 年冬季，他受迈因茨选帝侯所托，着手筹备制止法国进攻德国的规划。1672 年，莱布尼茨作为外交官出使巴黎，试图游说法国国王路易十四放弃进攻，然而始终未能与法王会面，更无从谈起完成选帝侯交付给他的任务。此次外交行动以失败告终。不过在此期间，他深受惠更斯的启迪，决意钻研高等数学，并研习了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著述，开启了创造性的工作。

1673 年 1 月，为促使英国与荷兰达成和解，他前往伦敦进行斡旋，却未获成功。但他借此契机与英国学术界的知名学者建立了联系。他见到了与其通信达三年之久的英国皇家学会秘书、数学家奥登伯以及物理学家胡克、化学家波义耳等人。1673 年 3 月，莱布尼茨返回巴黎，4 月即被举荐为英国皇家学会会员。这一时期，他的兴趣愈发显著地倾向于数学和自然科学方面。

1672 年 10 月，迈因茨选帝侯离世，莱布尼茨失去职位与薪金，仅成为一名家庭教师。当时，他曾多方谋求外交官的正式职务，亦或期望在法国科学院谋取一职，皆未如愿。无奈之下，只好接纳汉诺威公爵约翰·弗里德里希的邀请，前往汉诺威。1676 年 10 月 4 日，莱布尼茨离开巴黎，先是在伦敦作了短暂逗留，继而前往荷兰，见到了首次使用显微镜观察细菌、原生动物和精子的生物学家列文虎克，这些经历对莱布尼茨日后的哲学思想产生了影响。在海牙，他与斯宾诺莎相见。1677 年 1 月，莱布尼茨抵达汉诺威，出任布伦兹维克公爵府法律顾问兼图书馆馆长以及布伦兹维克家族史官，并负责国际通信以及充当技术顾问。汉诺威成为了他的永久栖居之所。

在繁忙的公务闲暇之际，莱布尼茨广泛深入地探究哲学以及各类科学、技术问题，投身于多维度的学术文化与社会政治活动当中。未几，他便荣升为宫廷议员，于社会上声名鹊起，生活亦由此变得优裕殷实。

1682 年，莱布尼茨与门克携手创办了在近代科学史上颇具影响力的拉丁文科学杂志《学术纪事》（亦称《教师学报》），其数学、哲学方面的文章大多刊载于该杂志之上；此时，他的哲学思想亦逐步趋于成熟。

1679 年 12 月，布伦兹维克公爵约翰·弗里德里猝然离世，其弟奥古斯特承袭爵位，莱布尼茨仍居原职。新公爵夫人苏菲乃是他哲学学说的拥趸，“世界上没有两片完全相同的树叶”这一脍炙人口的名言，便源自他与苏菲的交谈。奥古斯特为达成其于整个德国崭露头角的雄心壮志，提议莱布尼茨广泛开展历史研究与调研，撰写一部有关他们家族近代历史的著述。1686 年，他开启了此项工作。在对当地颇具价值的档案资料进行研究之后，他请求在欧洲展开一次广泛的游历。

1687 年 11 月，莱布尼茨离开汉诺威，于 1688 年初夏 5 月抵达维也纳。他除查找档案外，将大量时间用于结识学者及各界知名人士。在维也纳，他拜谒了奥地利皇帝利奥波德一世，并为皇帝勾勒出一系列经济科学规划，给皇帝留下了深刻的印象。他试图在奥地利宫廷谋取一职，然而直至 1713 年才获肯定答复，而他请求古奥地利构建一个“世界图书馆”的规划却始终未能达成。随后，他前往威尼斯，继而抵达罗马。在罗马，他当选为罗马科学与数学科学院院士。

1690 年，莱布尼茨回归汉诺威。鉴于其撰写布伦兹维克家族历史的功勋，他获授枢密顾问官一职。在 1700 年世纪交替之际，莱布尼茨热忱地致力于科学院的筹划与建设事宜。他认为学者们各自独立开展研究既耗费时间又成效欠佳，故而极力倡导集中人才钻研学术、文化和工程技术，以更优地安排社会生产，指导国家建设。自 1695 年起，莱布尼茨始终为在柏林建立科学院而奔波劳碌，四处游说。1698 年，他为此亲赴柏林。

1700 年，在他第二次造访柏林之际，终于获得了弗里德里希一世，尤其是其妻子（汉诺威奥古斯特公爵之女）的资助，成功建立了柏林科学院，他出任首任院长。1700 年 2 月，他亦被选为法国科学院院士。至此，当时全球的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院皆以莱布尼茨作为核心成员。

1713 年初，维也纳皇帝授予莱布尼茨帝国顾问之职，邀其指导建立科学院。俄国的彼得大帝亦在 1711 至 1716 年赴欧洲旅行访问时，数次聆听了莱布尼茨的建言。莱布尼茨试图让这位雄才大略的皇帝笃信，于彼得堡设立一个科学院极具价值。彼得大帝对此饶有兴致，1712 年赐予莱布尼茨一个有薪俸的数学、科学宫廷顾问之职。1712 年前后，他同时受雇于维也纳、布伦兹维克、柏林、彼得堡等王室。此时期，他一有契机便积极鼓吹其编纂百科全书、建立科学院以及利用技术改造社会的规划。

在他辞世以后，维也纳科学院、彼得堡科学院先后得以建立。据传，他还曾透过传教士，提议中国清朝的康熙皇帝在北京设立科学院。

恰在莱布尼茨备受各个宫廷青眼有加之时，他却已然步入悲惨的暮年。公元 1716 年 11 月 14 日，因胆结石引发的腹绞痛卧床一周后，莱布尼茨孤独寂寥地与世长辞，享寿 70 岁。莱布尼茨终生未娶，亦未在大学担任教授。他平素从不踏入教堂，故而有一个绰号“Lovenix”，意即无所信奉之人。他离世时，教士以此为由，置之不理，曾雇用过他的宫廷亦不闻不问，无人前来吊唁。弥留之际，陪伴他的唯有他所信赖的大夫以及他的秘书艾克哈特。艾克哈特发布讣告后，法国科学院秘书封登纳尔于科学院例会时向莱布尼茨这位外国会员致以悼词。1793 年，汉诺威人为其树立了纪念碑；1883 年，在莱比锡的一座教堂附近矗立起他的一座立式雕像；1983 年，汉诺威市政府依原样重修了毁于第二次世界大战中的“莱布尼茨故居”，以供人们瞻仰。

三、个人成就

1、微积分

17 世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛突进，因生产力的抬升以及社会各方的急切需求，经各国科学家的奋力耕耘与历史的沉淀累积，构筑于函数与极限概念基石之上的微积分理论应时而生。

微积分思想，其源头最早可追溯至希腊时期由阿基米德等人所提出的计算面积和体积的方式。1665 年，牛顿开创了微积分之先河，莱布尼茨在 1673 至 1676 年期间也发表了蕴含微积分思想的论著。往昔，微分与积分作为两种数学运算以及两类数学问题，是分别加以探究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人获取了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要成果，然而这些成果均是彼此孤立的，缺乏连贯性。

唯有莱布尼茨和牛顿将积分与微分切实地相互融通，清晰明确地探寻到两者内在的直接关联：微分和积分乃是互逆的两种运算。而此正是微积分得以构建的关键要点。唯有确立了这一基本关系，方可在此基础之上构建起系统的微积分学。并且从针对各种函数的微分和求积公式当中，归纳总结出共同的算法程序，使微积分方法得以普遍适用，进而发展成为以符号来表述的微积分运算法则。故而，微积分“是由牛顿和莱布尼茨大致完成的，但并非由他们所发明”。

然而，有关微积分创立的优先权问题，在数学史上曾引发了一场激烈的论争。实际上，牛顿在微积分领域的研究虽早于莱布尼茨，可莱布尼茨成果的发表却先于牛顿。莱布尼茨于 1684 年 10 月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，乃是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，其内容算不上丰富，论述亦较为含混，但却具有划时代的重大意义。

牛顿于三年后，即 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版中亦写道：“十年前于我与最为杰出的几何学家莱布尼茨的通信里，我表明自身已然知晓确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似之法，然而我在往来的信件中对这方法予以隐瞒，……这位极其卓越的科学家在回信中写道，他亦发现了一种相同的方法。他还详述了他的方法，其与我的方法近乎毫无差异，除却他的措辞和符号而已”（但在第三版及往后的再版时，此段话被删减了）。由此，后来众人皆公认牛顿和莱布尼茨是各自独立创建微积分的。

牛顿从物理学着手，运用集合之法探究微积分，其在应用方面更多地与运动学相结合，造诣在莱布尼茨之上。莱布尼茨则由几何问题切入，运用分析学的方法引入微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所难以企及的。莱布尼茨认识到优良的数学符号能够节省思维劳作，运用符号的技巧乃是数学成功的关键要素之一。故而，他所创设的微积分符号远胜于牛顿的符号，这对微积分的发展产生了极大的影响。1713 年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自身创立微积分学的思路，阐明了自己成就的独立性。

2、二进制

关于莱布尼茨的二进制与中国的八卦图之间的关系，存在诸多考证，然而对于莱布尼茨究竟是受八卦图影响发明二进制，还是独自发明二进制，迄今似乎仍无定论。胡阳、李长铎的著作《莱布尼茨－二进制与伏羲八卦图考》提供了较为可信的资料，表明莱布尼茨的二进制在一定程度上至少受到了八卦图的启迪。

依莱布尼茨自身所言，他于 1679 年前便发明了二进制算术，不过直至 1703 年 4 月 1 日收到耶稣会士白晋寄来的伏羲八卦图，此时他才开始正式探究八卦符号，并察觉到自己的二进制体系与伏羲八卦图的一致性。数日后，他撰写了论文《二进位算术的阐述—关于只用 0 和 1 兼论其用处及伏羲氏所用数字的意义》，刊载于法国《皇家科学院院刊》。众多研究者依据莱布尼茨的这番说法，认为莱布尼茨并非因伏羲八卦图的启发而发明二进制。

然而，在胡阳、李长铎的著作《莱布尼茨－二进制与伏羲八卦图考》中，证实了尽管莱布尼茨到 1703 年才见到白晋带给他的伏羲八卦图，但这并非他首次目睹伏羲八卦图，实则早在 1687 年，莱布尼茨就已见到。1687 年，耶稣会士柏应理出版了《中国哲学家孔子》一书，其中共计 13 页对伏羲八卦图予以介绍，书中配载有伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图。值得一提的是，在伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图中，于相应的卦象之上，标有阿拉伯数字 1 至 64。而在莱布尼茨的二进制中，通过 0 与 1 的引申，能够表示一切数字，诸如 000、001、010、011、100 分别代表 0 至 4 这几个数字。

而在易经八卦里，通过阴阳的引申，能够表述宇宙万有的原理。倘若将阴爻视作 0，把阳爻视作 1，所有的卦象于是便能够看成 0 和 1 的组合。例如坤卦即为 000000，乾卦便是 ，大有卦则是 等等。伏羲图的六十四个卦象，恰好能够视作二进制算术从 0 到 63 的数字。

而莱布尼茨在《中国哲学家孔子》出版的当年，便阅读了此书。于致友人冯·黑森—莱茵费尔的信里，向其介绍自己已阅读了这本书。且在这封信中，还出现了“Fohi”这一字样，此词译为中文即为“伏羲”。借由这一系列事实，不难证实，莱布尼茨当年就曾见过伏羲八卦次序图、伏羲八卦方位图及文王六十四卦图。然而，莱布尼茨在 1698 年 5 月 17 日的一封信中宣称，对于二进制的思考已达二十多年。1703 年 5 月 18 日回白晋的信中亦表示，他二十多年前就发明了二进制。在其博物馆中亦存有 1679 年发表的《二进位数学》。基于此情形，柏应理《中国哲学家孔子》一书中有关易图的内容，应当对他发明二进制未产生影响。

但胡阳、李长铎的著作《莱布尼茨－二进制与伏羲八卦图考》亦有资料证明，早在 1679 年之前，也就是他发明二进制的最早时间之前，欧洲便有关于八卦图的书籍出版，而莱布尼茨在 1679 年之前也见过易图。胡阳、李长铎的著作《莱布尼茨――二进制与伏羲八卦图考》介绍，1660 年学者斯比塞尔于荷兰出版了《中国文史评析》一书，书中记载了“I Ging（易经）”。斯比塞尔与莱布尼茨交往颇为密切，而此书乃是莱布尼茨为了解中国所参考过的一本著作。书中两个部分介绍了易经，介绍了龙马负图出河、伏羲得图做八卦以及太极阴阳八卦学说。

另外，从《中国文史评析》一书中能够看到，1660 年以前，斯比塞尔参考的中国文化文献涵盖耶稣会士卫匡国 1658 年出版的《中国上古史》以及曾德昭 1642 年出版的《中华帝国》。《中华帝国》中只是简略介绍阴阳八卦学说，而在《中国上古史》中则甚为详尽。书中详细阐述了阴阳生两仪、两仪生四象、四象生八卦的太极八卦演化过程。有学者认为《中国上古史》或许是首个向欧洲介绍六十四卦图，并对莱布尼茨产生影响的著作。

四、其他成就

1、数学

莱布尼茨在数学领域的成就斐然，其研究及成果广泛渗透至高等数学的诸多领域。他所提出的一系列关键数学理论，为后续的数学理论筑牢了根基。

莱布尼茨曾就负数和复数的性质展开探讨，得出复数的对数并不存在，共轭复数的和为实数的结论。在后续的研究中，莱布尼茨证实了自身结论的正确性。他还针对线性方程组予以研究，从理论层面探究消元法，并率先引入行列式的概念，提出有关行列式的部分理论。此外，莱布尼茨还构建了符号逻辑学的基本理念。

莱布尼兹堪称数字史上最为卓越的符号学者之一，实乃符号大师。 他曾言：“欲发明，便需拣选适宜的符号，达成此点，就要凭借含义明晰的少量符号来表达并相对忠实地描绘事物的内在实质，从而最大程度地减轻人的思维劳作”，正如印度—阿拉伯的数学推动了算术和代数的发展一般，莱布尼兹所缔造的这些数学符号对微积分的发展发挥了重大的促进作用。欧洲大陆的数学能够得以迅猛发展，莱布尼兹的精妙符号居功至伟。

除却积分、微分符号外， 他所创设的符号还包括商“a/b”、比“a:b”、相似“∽”、全等“≌”、并“∪”、“交“∩ ”以及函数和行列式等符号。

2、物理

莱布尼茨在物理学方面的成就同样卓越非凡。1671 年，莱布尼茨发表了《物理学新假说》一文，提出了具体运动原理与抽象运动原理，主张运动着的物体，无论何其微小，都会携带着处于全然静止状态的物体的部分一同运动。他还针对笛卡儿所提出的动量守恒原理展开了审慎的研讨，提出了能量守恒原理的雏形，并于《教师学报》上发表了《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》，提及了运动的量的问题，证明了动量不能充当运动的度量单位，并引入了动能的概念，首次认定动能守恒乃是一个普遍的物理原理。

他还充分论证了“永动机是不可能存在”的观点。他亦反对牛顿的绝对时空观，认为“若无物质，便无空间，空间本身并非绝对的实在性”，“空间和物质的差别犹如时间和运动的差别一样，不过这些事物虽有差异，却是不可分割的”。这一思想其后引起了马赫、爱因斯坦等人的关注。1684 年，莱布尼茨在《固体受力的新分析证明》一文中指明，纤维能够延展，其张力与伸长成正比，因而他提议将胡克定律应用于单根纤维。这一假说后来在材料力学中被称作马里奥特——莱布尼茨理论。在光学领域，莱布尼茨亦有所成就，他借助微积分中的求极值之法，推导得出了折射定律，并尝试运用求极值的方式阐释光学基本定律。可以说，莱布尼茨的物理学研究始终朝着为物理学构建一个类似于欧氏几何公理系统的目标迈进。

3、哲学

《单子论》（Monadologie）乃德国近代哲学家 G.W.莱布尼兹之著作。《单子论》原文为法文，原本并无标题。1720 年，克勒曾发表了此篇的德译文，1721 年，迪唐又依据德译转译为拉丁文。1840 年，J.E.爱尔特曼于莱布尼兹的手稿中发现原文，将其收入所编的《莱布尼兹哲学全集》中，并添加了标题。

此文乃是莱布尼兹将自己于众多哲学著作中所阐述的主要观点进行高度凝练的作品。篇幅虽短，然而内容丰富。全文总计 90 节，大致可划分为两部分：1 至 48 节主要论及一切实体的本性，涵盖实体应是构成复合物的终极单位，自身没有部分，属于单纯之物，即精神性的单子；实体本身应具备内在的能动原则等等。49 至 90 节主要阐述实体间的关系，包含前定和谐以及这个世界是“一切可能的世界中最好的世界”的学说等等。莱布尼兹的单子论属于一个客观唯心主义的体系，存在向宗教神学妥协的倾向，但也蕴含一些合理的辩证法要素，诸如万物自身运动的思想等。

4、计算机

1673 年，莱布尼茨专程前往巴黎制造了一台能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这在继帕斯卡加法机之后，乃是计算工具的又一次进步。帕斯卡逝世后，莱布尼茨发现了一篇由帕斯卡亲自撰写的“加法器”论文，这激起了他强烈的发明欲望，遂决心将这种机器的功能拓展至乘除运算。

莱布尼茨早年命运多舛。在获取了一次出使法国的契机后，为达成制造计算机的夙愿创造了条件。在巴黎，莱布尼茨延聘了一些著名的机械专家和技艺精湛的工匠协助工作，终于在 1674 年造出了一台更为完善的机械计算机。莱布尼茨发明的机器称作“乘法器”，约 1 米之长，内部装配了一系列齿轮机构，除体积较大之外，其基本原理承袭自帕斯卡。不过，莱布尼茨为计算机增设了一种名为“步进轮”的装置。步进轮是一个拥有 9 个齿的长圆柱体，9 个齿依次分布于圆柱表面；旁边另有个小齿轮能够沿着轴向移动，以便逐次与步进轮啮合。每当小齿轮转动一圈，步进轮可依据它与小齿轮啮合的齿数，分别转动 1/10、2/10 圈……直至 9/10 圈，如此一来，它便能连续且重复地进行加减法，在转动手柄的过程中，使这种重复的加减转化为乘除运算。

莱布尼茨对计算机的贡献不止于乘法器，公元 1700 年左右，莱布尼茨从一位友人赠予他的中国“易图”（八卦）中获得启发，最终领悟了二进制数的真谛。尽管莱布尼茨的乘法器依旧采用十进制，但他率先针对计算机的设计，系统性地提出了二进制的运算法则，为计算机的现代发展筑牢了坚实的基础。

五、其他发现

莱布尼茨奋力追求的主要目标乃是探寻一种能够获取知识和实现创造发明的普适方法，这种不懈的努力促成了众多数学方面的发现。莱布尼茨的博学多才在历史上鲜有人能与之比肩，他的研究范畴及其成果涵盖数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史和外交等诸多领域。

1693 年，莱布尼茨发表了一篇有关地球起源的文章，其后扩充为《原始地球》一书，阐述了地球中火成岩、沉积岩的形成缘由。对于地层中的生物化石，他认为这些化石反映了生物物种的持续演进，这种现象的根本原因在于自然界的变化，而非偶然的神迹。他的地球成因学说，尤其是其宇宙进化和地球演化的思想，启迪了拉马克、赖尔等人，在一定程度上推动了 19 世纪地质学理论的发展。

1677 年，他撰成《磷发现史》，对磷元素的性质及提取进行了论述。他还提出了分离化学制品以及使水脱盐的技术。在生物学领域，莱布尼茨于 1714 年发表的《单子论》等著述中，从哲学视角提出了有机论的各类观点。他主张存在介于动物、植物之间的生物，水螅虫的发现印证了他的这一观点。在气象学方面，他曾亲自组织人力开展大气压和天气状况的观测。

在形式逻辑方面，他区分并研究了理性的真理（必然性命题）、事实的真理（偶然性命题），并在逻辑学中引入了“充足理由律”，后来此律被人们视作一条基本的思维定律。他设想将数学方法运用于逻辑，把逻辑推理转变为纯符号的逻辑演算，使逻辑成为一种证明的艺术，并为此展开了开创性的研究工作。尽管他后来中止了这一研究，但却为逻辑的发展指明了新的方向，对后来数理逻辑的创建发挥了重要作用，因而被公认为数理逻辑的奠基者。

1696 年，莱布尼茨提出了心理学方面的身心平行论，他着重强调统觉作用，与笛卡儿的交互作用论、斯宾诺莎的一元论共同构成了当时心理学的三大理论。他还提出了“下意识”理论的初步构想。1691 年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本理念。1700 年前后，他提出了无液气压原理，彻底省去了液柱，这在气压机发展的历程中起到了重要作用。

六、人物贡献

中西文化交流之倡导者，莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想极为关注，他乃是最早研究中国文化与中国哲学的德国人。他从耶稣会来华传教士格里马尔迪处获知了诸多有关中国的情形，涵盖养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编纂成册予以出版。他觉得中西彼此之间应当构建一种交流认知的新型关系。

在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼茨写道：“全人类最为伟大的文化和最为发达的文明仿佛于今日汇聚在我们大陆的两端，即汇聚在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相较，面积相当，然而人口数量却已然超出”。“在日常生活以及凭借经验应对自然的技能方面，我们难分高下。我们双方各自皆具备通过相互交流使对方获益的技能。在思考的缜密程度和理性的思辨方面，显然我们稍占上风”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们着实相形见绌了”。

在此，莱布尼茨不单展现出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学之精神，并且为中西文化双向交流勾勒出了宏伟的蓝图，极力促使这种交流向纵深推进，使得东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。

莱布尼茨为推动中西文化交流付出了毕生的努力，产生了广泛且深远的影响。他的虚心好学、对中国文化平等相待，不含“欧洲中心论”偏见的精神尤为可贵，值得后世永远尊崇、效仿。