三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系

三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系三角形三边与外接圆 R 的关系若 S 是三角形 ABC 的面积 三角形的外接圆半径为 R 三边长分别是 a b c 证明 4RS abc 证明 如图 让 AD 经过圆心 成为直径 连接 BD 做高 AH 由于在直角三角形 ABD 和直角三角形 AHC 中有 ADB

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三角形三边与外接圆R的关系

若S是三角形ABC的面积,三角形的外接圆半径为R, 三边长分别是a, b, c, 证明

4RS=abc

三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系

证明:如图,让AD经过圆心,成为直径,连接BD,做高AH,

三角形三边与外接圆R和三角形面积的关系

由于在直角三角形ABD和直角三角形AHC中有:

∠ADB=∠ACH,(都对应相同的弧AB)因此有

△ADB与△ACH相似,

所以有比例关系:

AH/AC=AB/AD

即2R·AH=AC·AB,

两边同时乘以BC,

2R·AH·BC=AC·AB·BC, 而AH·BC=2S, 所以:

4RS=abc

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