说一说矩阵的乘法

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数学，最开始学习的是数的四则运算，即数的加减乘除。

为了方便表示物理里的一些量，比如力的方向和大小，人们发明了向量。当然，向量还有很多其他的应用。

而为了方便解线性方程组，又发明了矩阵，用矩阵来表示方程组的系数等。

这些是很有趣的发明，不仅是因为用向量、矩阵表示起来很简练，而且矩阵和向量也可以像数一样做各种运算，能解决很多问题。

我们说一说矩阵的乘法。

矩阵乘矩阵的规则是什么？怎么去理解呢？

先不说具体的规则，来看一个例子：

矩阵乘法AB

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上面左边的矩阵A（两行两列）乘上右边的矩阵B（两行两列），得到一个同样大小的矩阵。

矩阵乘法BA

按照同样的乘法规则，如果是右边的矩阵B乘上左边的矩阵A，则得到的是另外一个矩阵。

可见，矩阵乘法一般不可以交换次序。

补充一下，按照矩阵乘法规则，矩阵乘矩阵，只需要左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等即可。

例如，下面的矩阵乘法都是行得通的。

这些矩阵可以相乘

一般地，矩阵A乘矩阵B，我们有

矩阵乘法的定义

那么，问题来了，矩阵的乘法这样定义有什么来源么？

这个来源，就是线性方程组的求解。比如，下面这个三元一次方程组，就可以写成右边这样的矩阵乘法的形式:

线性方程组的矩阵表示

我们只要找到系数矩阵的乘法逆矩阵，再乘上右端向量就得到未知数的解了。

如果跟我们之前关于数的方程做个比较，就是下面这样：

方程求解 V.S. 方程组求解

所以其实学完线性代数，去解线性方程组，不管这个方程组有多大，其实理解起来和ax=b这样的方程没有什么本质的区别。(方程组系数矩阵也可以不是方阵，用高斯消去法求解，相当于解方程组时的消元法。）

当然，问题变得复杂了，也会出现更多的解的情况。比如，线性方程组存在唯一解，无解，有无穷多组解三种情况，而ax=b只有唯一解和无解两种情况。

矩阵不仅在解线性方程组时发挥了很大的作用，而且有很多其他巧妙的应用，有兴趣的同学，也来学一下线性代数这门课吧！