直线的法线式方程

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高中介绍了直线的几种形式。

点斜式：已知直线经过的一点及直线斜率

斜截式：已知直线在y轴的斜率及直线的斜率

两点式：已知直线经过的两个定点

截距式：已知直线在x,y上的截距

一般式：所有直线都可以写成Ax+By+C=0

我们发现，前四种直线形式都依赖于直线的某种几何性质，而一般式提供了大家都能接受的形式。

其他形式既很容易转换成一般式，一般式也很容易转换成其他形式。

当然，我们知道，直线的几何性质远不止上面提到的四个。于是给出一个几何性质，我们就可以推导出一种新的直线性质。

比如，过原点作直线l的垂线，垂足为D，如果|OD|=p，垂线OD的倾斜角为α，我们也可以确定一条直线。

咱们试试求出直线的方程。

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OK，我们可以写结论了。

过原点作直线l的垂线，垂足为D，如果|OD|=p，垂线OD的倾斜角为α，则直线l的方程为xcosα+ysinα−p=0

这个直线方程我们就称之为法线式。

因为OD垂直于直线l，其实就是法线。

在法线式中，常数项−p是有几何含义的，它表示原点到直线的距离的相反数，因此p≥0

于是我们就可以得到一般式转化成法线式的方法。

注意，法线式要求常数项为负或者零，所以如果C>0，需要两边先同时乘以−1

我们发现，法线式与计算点到直线的距离有着显然的联系。

显然，这个距离公式要漂亮一点。（瘦身了嘛……）

拿几个平常做的题来玩玩。

(当然不用法线式一点问题都没有)

例、三角形的三个顶点为A(1,2),B(8,−5),C(3,5)，求∠BAC的内角平分线与外角平分线的方程。

注意，这两个个方程一个是内角平分线，一个是外角平分线。亲爱的，你能想到办法来判别哪条是内角平分线，哪条是外角平分线吗？

很容易的，我这里不想写了，请你试一试。

答案：前者是外角平分线，后者是内角平分线

之所以说这些题只是玩玩，因为即使没有法线式，我的朋友们也很容易做出来的，而且我也不希望你在高考试卷上用法线式，万一阅卷的考官看不懂怎么办？咱得防着对手太渣啊。