第4章 4.5 三角函数的图象与性质

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知识梳理

“五点法” 作简图：给出正弦函数（）和余弦函数（）图象的五个关键点123。

函数图象与性质：详细介绍正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、递增区间、递减区间、对称中心、对称轴方程等性质（）456。

常用结论：阐述了正弦、余弦曲线的对称性与周期性，以及函数为偶函数和奇函数的充要条件789。

核心题型

三角函数的定义域和值域

例 1：求函数的定义域为，且；求函数的值域为。

跟踪训练 1：判断函数为偶函数，最大值为；求函数的定义域为。

三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例 2：判断函数以为周期且在区间上单调递增；若（）为偶函数，则，其对称中心为。

跟踪训练 2：函数最小正周期为，最大值为；已知是奇函数且时取最小值，当取最小正数时，；函数最小正周期为，在上最小值为，图象关于点对称。

三角函数的单调性

例 3：求函数的单调递减区间为，在上的单调递减区间为和。

例 4：若函数在上单调递增，在上单调递减，则；已知，函数在上单调递减，则。

跟踪训练 3：函数的一个单调递增区间是；函数在区间上单调递增，则。

教材改编题

函数的最小正周期，最大值10。

函数的定义域是11。

函数的单调递减区间是12。

思考辨析

判断正切函数在定义域内不是增函数（）；（）最大值不一定为（）；是偶函数（）；若非零实数是函数的周期，则（是非零整数）也是函数的周期（）。

课时精练

基础保分练：包括求的单调递增区间（如）、函数的定义域、判断函数的性质（最小正周期为的非奇非偶函数）、分析函数在的图象、判断关于函数命题的真假、分析函数的性质（如偶函数，最大值为等）、写出周期为的偶函数（如）、根据等式在内实根情况求取值范围（）等。

技能提升练：涉及判断函数相关性质（如不是偶函数，是零点，在上单调递增，图象关于直线对称）、分析函数的性质（如最大值为，图象对称轴方程为，在上有个零点等）、求时的最大值为、已知，是偶函数时求等。

拓展冲刺练：分析函数在内有且仅有个零点时的相关结论（如在内有零点，在内有且仅有个零点，在上单调递增，取值范围是）；求函数的单调递增区间为，以及当函数在区间上恰有两个零点时的取值范围（或）和。