《类题通法》5.4.2：正弦函数、余弦函数的性质

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一、求与三角函数有关的函数定义域的方法

求与三角函数有关的函数的定义域的基本方法是“数形结合法”，也就是在求这类函数的定义域时，往往需要解有关的三角不等式(如本例中的“sinx>-1/2”),而解三角不等式的基本方法：要么利用三角函数图象，要么利用单位圆（结合三角函数的定义）来解决问题。

二、求函数y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0）或y =Acos(wx+φ)(A>0,w>0）的单调区间的步骤

(1）写出基本函数y=sinx或y=cosx的相应单调区间；

(2）将“wx+φ”视为整体替换基本函数单调区间中的“x”;

(3）解关于x的不等式。

三、利用单调性比较大小的方法

(1）比较两个不同名的三角函数值的大小时，一般先将其化为同名的三角函数值再比较，或利用已知结论进行比较，如当 α为锐角时，sinα<α。

(2）比较两个同名三角函数值的大小时，先利用诱导公式把两个角转化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性进行比较，注意：当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助图象或值的符号进行比较。

四、求三角函数周期的方法

(1）定义法：若存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x，使f(x+T)=f(x)，则T是它的一个周期。

(2）公式法：形如y=Asin(wx+φ）和y=Acos(wx+φ)（其中A,w,φ为常数，且A≠0）的函数的周期T=2π/|w|。

(3）图象法：画出函数的图象，通过图象直接得到。

(4）推断函数周期的几个形式：①若f(x+t)=f(x)，则周期为2t;②若f(x+t)=1/f(x)，则周期为2t;③若f(x+t)=- 1/f(x)，则周期为2t。

五、有关三角函数奇偶性问题的解题思路

(1）要使y=Asin(wx+φ)(Aw≠0)为奇函数，则φ=kπ(k属于Z)。

(2）要使y=Asin(wx+φ)(Aw≠0)为偶函数，则φ=kπ+π/2(k属于Z)。

(3）要使y=Acos(wx+φ)(Aw≠0)为奇函数，则φ=kπ+π/2(k属于Z)。

(4）要使y=Acos(wx+φ)(Aw≠0)为偶函数，则φ=kπ(k属于Z)。

六、求三角函数图象的对称轴和对称中心的方法

对于函数y=sin(wx+φ）或y=cos(wx+φ）的图象的对称性，应将wx+φ看成一个整体，利用整体代入思想，令wx+φ等于kπ(或kπ+π/2)(k属于Z)，解出的×的值即为对称中心的横坐标；令wx+φ等于kπ+π/2(或kπ)(k属于Z)，解出的x的值即为对称轴与x轴交点的横坐标。

七、三角函数最值问题的求解方法

(1)形如y=Asin(wx+φ)+b(或y=Acos(wx+φ)+b）型，可先由定义域求得wx+φ的范围，然后求得sin(wx+φ)（或 cos (wx+φ）的范围，最后求得最值。

(2）形如y=asin2x+bsinx+c (a≠0）型函数的处理思路：

可以通过换元，令t=sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，再利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性。