y=cosx余弦函数的轴对称与中心对称推导

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

一:关于y=cosx的轴对称推导过程:

问题: 求证y=cosx的轴对称为x=kπ

证明过程如下:

设f(x)=cosx,关于x=a对称,根据轴对称的性质和定义

f(x+a)=f(a-x) 得到

cos(x+a)=cos(a-x)

利用三角函数余弦函数展开得到如下

cosxcosa-sinasinx=cosacosx+sinasinx

整理得到: 2sinasinx=0,因为对于任意x符合定义域该等式要恒成立,那么

sina=0 (sin0,sinπ,sin 2π….=0)

所以 a=2kπ+0 或 a=2kπ+π=(2k+1)π

因为2k,2k+1 就是全体的整数的偶数和奇数, 所以我们将结论合并

得到:a=kπ (k属于整数) 所以x=a=kπ

结论: y=cosx 关于直线x=kπ (k属于整数)

(1)特别的当k=0的时候, y=cosx 关于x=0对称(y轴堆成),所以cosx属于偶函数

(2)两个相邻的对称轴之间的距离为π: (2k+1-2k)π=π

二: y=cosx 关于A(a,0)中心对称的推导:

问题求证:证明y=cos(x)关于A(kπ+π/2,0) 中心对称

证明过程: 设f(x)=cosx,关于A(a,0)中心对称,根据中心对称的定义和性质

f(x+a)+f(a-x)=2b=2*0

得到: cos(x+a)+cos(a-x)=0

根据三角函数余弦函数和差公式展开得到

cosxcosa-sinxsina+cosacosx+sinasinx=0

整理得到: 2cosxcosa=0

因为对于任何x上面等式要恒成立,所以

cosa=0 (cosπ/2=0,cos3/2π=0………)

所以 a=2kπ+π/2 或 a=2kπ+3/2π =(2k+1)π+π/2

因为(2k,2k+1)代表全体整数的偶数和奇数,所以我们将两个结果合并

a=kπ+π/2 (k属于整数)

于是A(a,0) 求得 A(kπ+π/2,0), k属于任意整数.

分析所有的A点,我们可以得到如下结论:

两个中心对称点的距离为: π

离y轴最近的两个中心对称点分别为(-π/2,0),(π/2,0 ) (k=0,k=-1)

三: 归纳总结:

1. 余弦函数y=cosx在证明轴对称和中心对称的过程中,最后实际求解的方程为:

sina=0 (轴对称)

cosa=0 (中心对称)

跟正弦函数y=sinx证明轴/中心对称正好相反.

cosa=0 (轴对称)

sina=0 (中心对称)

2. 如果忘记两个函数的轴对称和中心对称,通过推导可以加深理解,同时也可以画出图形来理解.