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设x、y是直角三角形的两条直角边长,z是斜边长,根据勾股定理,必有x²+y²=z².这里x、y、z,可以是任意实数,当然要满足如上等式. 如果x、y、限定必须是自然数,我们把满足勾股定理的这样一组数叫作一个勾股数组。
我们常见的勾股数有3、4、5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9、40、41。 如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n为自然数。例如3,4,5是一组勾股数,那么 6,8,10也是一组勾股数9,12,15也是一组勾股数。而普林顿322里面出现的较大的勾股数除去是常见的勾股数的倍数外,其他一些数据是怎么得来的呢?到底存在多少组勾股数呢?
探寻”勾股数”
在西方,提出求勾股数组式子的是毕达哥拉斯。他提出了如下求勾股数组的式子:
这组公式可以求出不少勾股数组,但是局限性很大。后来古希腊著名学者柏拉图(Platon,公元前427-前347)了类似式子。他们的式子均不能给出全部勾股数组.例如8、15、17三数不在式子之中,但却是一组匀股数组.
再后来,古希腊数学家丢番图(Diophantus,约250-约334)给出了如下一组公式:
利用这一组公式算得前面的几组勾股数组如下表:
他的功绩在于,这组公式能求出全部勾股数组.
和丢番图同时代的我国数学家刘徽(约225一约295),在数学上的主要成就是为《九章算术》做注解,于公元263年成书,名《九章算术注》.他曾用几何方法找到了如下求勾股数组的公式,就载于该书中:
这是迄今为止求勾股数组最完美的公式组之一。
美国哥伦比亚大学普林斯顿收藏馆收藏了一块很古怪的泥板,这款泥板是在巴比伦挖掘出来的,编号322,考古学家相信这块泥板是公元前18世纪的成品,泥板上有三列文字,没有人能解释,直至1945年,Neugebauer和Sachs经过细心考究,发现泥板上是三列数字,你知道这些数字间的关系吗?借助计算器进行探索。
对于古巴比伦人手稿,据考证,其年代远在中国商高和古希腊毕达哥拉斯之前,大致在公元前1900年到公元前1600年之间.手稿列出了以下15组勾股数:
其数之大和年代之早令人难以置信.如果是确实的,说明古巴比伦人的灿烂文化,在此方面先于他国.这或许是一个难以考证的千古之谜。
如何构造勾股数?
用现代数学知识,构造勾股数,就要寻找3个正整数,使它满足”两个数的平方和(或差)等于第三个数的平方”,即满足以下形式:
我们可以从乘法公式的变形入手。我们知道:
如何记忆呢?
规律一:在勾股数(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(9,40,41)中我们发现:在一组勾股数中,当最小边是奇数时,它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。
我们还总结出来一个方便理解和记忆的方法:在一组勾股数中,若第一个数是奇数,则另外两个数,一个数是它的平方减1的一半,一个数是它的平方加1的一半。
这是最经典的一个套路,而且由于两个连续自然数必然互质,所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
规律二:在勾股数(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26)中我们发现:
在一组勾股数中,当最小边是偶数时,它的平方刚好等于两个连续奇数,或者两个连续偶数的和的2倍。
规律二的补充记忆方法:
在一组勾股书中,当一个数是偶数时,则另外两个数,一个数是它的一半的平方减1,另一个数是它一半的平法加1.
中国关于”勾股数”的历史梳理
我国对于”勾股数”的探寻中,做出了重大贡献。很多数学著作都有不同程度的结论记载:如前面提到的最古老的《周髀算经》,标志着中国传统数学形成的《九章算术》(大约公元前1世纪),唐代《辑古算经》(约公元626年),宋元时期《测圆海镜》(1248年)、
《四元玉鉴》(1303年),清代《数理精蕴》(1723年)等。特别值得一提,清末《算表合壁》一书中记录了沈立民(浙江乌镇人,清代算学家、火器发明家)对勾股数的研究,列有”整数勾股弦表”,利用公式列出了弦长不超过1000的所有勾股数。
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