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解法一（初中水平）
初中代数重点是一元二次方程，由此切入。
令,则。代入约束方程得到，。
整理成关于的一元二次方程有
因为是实数，所以判别式
即
所以。
解法二（高一水平）
数形结合，利用方程的几何意义。
该方程是以原点为圆心，为半径的圆。
令,则。该方程是斜率为1，截距为的一条直线。
如上图，可知的半径。
为保证截距最大，须直线与圆相切于点
因为直线的斜率为1，所以
所以有
，，
可得截距。即。
解法三（高二水平）
圆和三角函数有天然联系，利用三角换元法。
因为，所以令。
利用三角函数和差公式：
所以。
当时，可取得最大值。
解法四（高三水平）
利用柯西（Cauchy）不等式。
对实数有
等号成立当且仅当或存在实数使得
利用柯西不等式可得
即,所以。
所以。
解法五（大学水平）
拉格朗日（Lagrange）乘子法
拉格朗日乘子法是专门用来解决带有限制条件的多元函数极值问题。可以将约束优化问题转化为无约束优化问题。
比如我们求解 。式中可以是多元向量
s.t.是subject to的缩写，指受制于约束条件。这个约束限制解空间。
但是如果引入拉格朗日函数：
式中称为拉格朗日乘子，使得函数没有约束了。原问题最优解可通过求偏导数得到。这个方程组求出来的解不一定都是最优解（例如存在鞍点），但是最优解一定在里面。所以求得的解需要代回原式进行验证。
利用拉格朗日乘子法，设
则 由①式和②式得
即，所以
有。即。
所以。
如果你有解法六（研究生水平）请发到评论区一起讨论学习。[呲牙]
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