数三——不定积分相关求解方法

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1、换元积分法

第一类：基本微分公式推导的凑微分公式

定理1：设f（u）具有原函数，u=ψ（x）可导，则有换元公式：

∫f[ψ（x）]ψ’（x）dx=[∫f(u)du]u=ψ（x）。

步骤：

（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分；

（2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分；

（4）变量还原。

常用的凑微分公式：

（1）(1/√x)dx=2d(√x)；

（2）（1/x²）dx=-d(1/x)；

（3）(1/x)dx=d（ln|x|）；

（4）exdx=dex；

（5）cosxdx=dsinx；

（6）sinxdx=-dcosx；

（7）（1/cos²x）dx=sec²xdx=dtanx；

（8）（1/sin²x）dx=-csc²xdx=-dcotx；

（9）[1/√（1-x²）]dx=d(arcsinx)=-d(arccocx)；

（10）[1/(1+x²)]dx=d(arctanx)=-d(arccotx)。

第二类：

定理2：设x=ψ（t）是单调、可导函数，并且ψ’（t）≠0，又设f[ψ（t）]ψ’（t）具有原函数，则有换元公式：∫f（x）dx=∫[f[ψ（t）]ψ’（t）dt]ψ-1（t），其中，ψ-1（t）是x=ψ（t）的反函数。

三角函数代换法：

三角替换法

√（a²-x²）=acost，令x=asint，t∈（-Л/2，Л/2）；

√（a²+x²）=asect，令x=atant，t∈（-Л/2，Л/2）；

√（x²-a²）=atant，令x=asect，t∈（0，Л/2）。

简单无理数代换法：

∫R（x，n√（ax+b））dx，令t=n√（ax+b）；

∫R（x，n√（ax+b），m√（ax+b））dx，令t=p√（ax+b）（p是m，n的最小公倍数）；

∫R（x，n√[（ax+b）/（cx+d）]）dx，令t=n√[（ax+b）/（cx+d）]。

倒代换法：在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令x=1/t，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x。

指数代换法：令ex=t。

常用积分公式补充：

①∫tanxdx=-ln|cosx|+C；②∫cotxdx=ln|sinx|+C；③∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C；

④∫secxdx=ln|secx+tanx|+C；⑤∫1/（a²+x²）dx=（1/a）arctan（x/a）+C；

⑥∫1/（x²-a²）dx=（1/2a）ln[（x-a）/（x+a）]+C；

⑦∫1/√（a²-x²）dx=arcsin（x/a）+C（a＞0）；

⑧∫1/√（a²+x²）dx=ln|x+√（a²+x²）|+C；⑨∫1/√（x²-a²）dx=ln|x+√（x²-a²）|+C。

2、分部积分法（利用两个函数乘积的求导法则推导得出）

定理1：设函数u=u（x），v（x），具有连续的导数，则∫udv=uv-∫vdu。

补充：v更容易求得；∫vdu比∫udv更易求出；

当被积函数是幂函数与正余弦或者指数函数的乘积时，幂函数在d的前面，正余弦或指数函数在d的后面；

当被积函数时幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d的前面，幂函数在d的后面；

当被积函数时指数函数与正余弦函数的乘积是，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后会还原到原来的积分形式，只是系数发生变化，称它为循环法；

在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法。

3、有理函数的积分和三角函数有理式的积分

有理函数的积分：

有理函数的形式：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：

P（x）/Q（x）=（a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an）/（b0xm+b1xm-1+b2xm-2+…+bm-1x+am）其中，m和n都是非负整数，a0，a1，a2，…，an及b0，b1，b2，…，bm都是实数，并且a0≠0，b0≠0。当n＜m时，称这有理函数是真分式；当n≥m时，称这有理函数是假分式。假分式总可以化成一个多项式与一个真分式的和的形式。

求真分式的不定积分：如果分母可以因式分解，则先因式分解，然后化成部分分式再积分。

三角函数有理式的积分：

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数，其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算。由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示，姑三角函数有理式也就是sinx，cosx的有理式。把sinx，cosx化成tan（x/2）的函数，然后作变换u=tan（x/2）。sinx=2u/1+u²；cosx=（1-u²）/（1+u²）

并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理数函数的积分。