电磁场中的夸克物质是什么？磁场强度对夸克物质有什么影响？

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前言

电磁场中的经典带电粒子受到库仑力和洛伦兹力的影响，满足牛顿方程，而微观粒子量子效应无法忽略时，电磁场则出现在支配粒子物质波函数的薛定谔方程中。

当我们想研究高速电子或夸克这种相对论性的费米子时，有满足Lorentz协变性的Dirac方程，方程的解多出了负能量的部分，这可以通过引入反粒子和Dirac海的概念来解释。

不过更加自洽的方式是将这个单粒子运动方程扩展为场的运动方程，用场论的语言描述粒子的产生湮灭，当费米子间有相互作用存在时，我们可以一般性地研究费米系统热力学性质，以及可能出现的费米配对。

本文将讨论夸克物质在电磁场中的手征凝聚和赝标凝聚，以及它们相关的手征对称性和UA(1)对称性。

电磁场中的夸克配对

QCD的轻味道部分(ud夸克)有近似的SUA(2)手征对称性，与之关系紧密的UA(1)轴对称性被胶子场非平庸拓扑结构带来的量子反常破坏，而由于真空的手征凝聚，手征对称性发生了自发破缺并伴随着三个Goldstone模式产生。

之所以说这两个对称性关联紧密，是因为手征相变的序参数和临界行为对UA(1)对称性在临界温度上的行为非常敏感，虽然可以用胶子场的拓扑磁化率去量化UA(1)对称性破坏的强度，但是我们到现在对UA(1)对称性在临界温度以上是否恢复仍不清楚。

Instanton模型和其他有效模型的计算表明，在临界温度Tc以上该磁化率总会降低，尽管本身的拓扑荷总是明显不为零，总归表现出了UA(1)对称性的部分恢复，同时最近基于Lattice QCD的计算有很多重要进展，也给出了更多细节信息。

考虑到相对论重离子碰撞实验中和致密星体表面会存在巨大电磁场，电磁场对QCD物质的特别是手征对称性会破缺和恢复的影响就变得至关重要。

一般来说，磁场的存在会加强手征凝聚，也就是磁催化效应（MCE），但是当温度效应同时存在时，磁场对手征凝聚的影响在临界温度Tc附近表现为反磁催化(Inverse MCE)，该效应至今仍没有令人满意的解释。

电场的效应相对比较平庸，它总是会试图破坏夸克反夸克这种标量凝聚，表现为恢复手征对称性，另外，还有很多手征反常引起的量子效应与电磁场紧密相关，例如手征磁效应(CME)、手征磁波(CMW)、手征分离效应(CSE)、手征电分离效应(CESE)、反常磁涡旋耦合等。

平行电磁场中的手征相变

先前的研究多关注强磁场对夸克物质性质的影响，强电磁场的综合效应相关研究还方兴未艾，比较早的如文献中研究了有平行电磁场分量的外场下，电磁场带来的手征反常对手征对称性破缺和恢复的影响。

其中作为同位旋三重态赝标量凝聚π0会随着该第二洛伦兹协变量增大，并随着增长到特定值Ic2后饱和，从Wigner函数出发的计算也得到了相同的结果。

而作为同位旋单态的中性赝标η介子模式与π0有除了同位旋外相同的量子数，因此也可能会在平行电磁场中产生，这就有可能带来非零的轴矢流破坏UA(1)对称性。

本文的目的就是在平行电磁场中，研究夸克物质的手征对称性和UA(1)对称性的破缺，将采用有近似UL(2)×UR(2)对称性的NJL模型。

手征对称性仅仅有微小的流夸克质量明显破坏，而UA(1)对称性在拉氏量中明显保留，这也使得我们可以更清楚地看到平行电磁场对它的影响，同时我们也计算了真空凝聚和相应的介子涨落。

平行电磁场中的夸克凝聚

去除KMT项以保留完整的UA(1)对称性。

由于电磁场的存在，原先LNJL的对称性被明显破缺到了UA(1)×UV(1)。

为了考察系统基态的性质，我们通过Hubbard-Stratonavich变换引入8个辅助玻色场，可以形式积掉夸克自由度，得到如下的玻色化作用量：

电磁场下带电凝聚并不会被诱导，所以我们只需要考虑中性凝聚即可，相应的能隙方程也可以从对热力学势求极小值得到，我们可以得到如下形式：

匀强外电磁场中的费米子传播子是味道空间中的对角矩阵，简单起见，分味道定义新的玻色场，后面的计算结果也显示了这种定义的方便性。

由Schwinger Proper Time，我们可以得到动量空间中的夸克传播子，去掉其中的Schwinger相位。

另外，为了简化讨论我们选择电磁场的第一洛伦兹协变量，也就是电场磁场强度相等，进一步地，我们从公式中可以得到各个凝聚的具体形式：

其中I2=E·B，把式子进行组合，得到了两组按ud味道分立的能隙方程，因此相应的热力学势也可以用这些新的凝聚形式积分得到：

我们采用与文献中类似的正规化方案，减除掉真空的发散，保留电磁场的贡献，得到的正规化后的能隙方程和热力学势为：

其中Mf=(m2f+(π0f)2)1/2，为手征相变的序参数，我们可以发现：

上式第二个等号用到了NJL模型里的Gell-Mann–Oakes–Renner关系，其中m*是真空中的夸克质量，可以得到模型参数无关的结果：

以上结果并不需要计算也可以得到，这里η和π0凝聚是电磁场手征反常的直接结果，其费曼图如下。

此外，上述结果还可以看出，在I2存在的情况下η凝聚总是比π0凝聚更大，我们选用的模型参数为G=4.93GeV−2,∧=0.653GeV和m0=5MeV。

通过数值求解两个耦合的能隙方程式得到下图（其中E=B）。

数值解按照味道u和d分开，有mu和π0d以及md和π0d两组凝聚，此外，mf=0的临界点Ic2对不同的味道表现出了差异：u夸克的临界值Ic2对应的是|δm|凝聚的峰值，而d夸克部分对应的是η的峰值。

当I2足够大时所有的凝聚恢复到零，这是因为强电场总是倾向于破坏这些夸克凝聚，手征对称性也随之近似恢复，但是UA(1)对称性并没有完全恢复，这是由于平行电磁场带来的三角反常引起的，只要有I2存在该量子反常始终存在。

零温下电场和磁场对手征凝聚的效果总是相反的，对于E=B的情形，随着I2的增大mf以及相应的Mf总是在减小，电场的抑制作用强于磁催化效应，这与之前胶子场中类似的计算也吻合。

而Mf随I2变化的行为，我们可以分为两个区域考察：在I2

，对应的能隙方程可以重写为:

对于大I2(B≫0)我们可以采用最低Landau能级(LLL)近似，简化为纯电场中的能隙方程，因此π0f凝聚在大I2时将会与纯电场下的情形类似，会促使手征对称性回复，简而言之，磁场引起的朗道能级使得I2的效应与电场类似。

UA(1)对称性破缺

没有电磁场时拉氏量在手征极限下(m0=0)有完整的UA(1)×UV(1)×SUL(2)×SUR(2)对称性，然而随着电磁场的引入，由于ud夸克带的电荷不同，SUL(2)×SUR(2)对称性降低到了UL(1)×UR(1)。

UA(1)对称性在经典层次上仍是保持的，只有非零的流夸克质量m0和非零的E·B会在不同的层次上破坏它，相应轴矢流的散度：

对于平衡态系统，轴矢流的热力学平均为时空均匀的，因此其散度为零，平均场层次的式，在给定的有效耦合常数G和相应的η和π0定义下，完全可以从平衡态的电磁场手征反常得到。

为了量化UA(1)对称性的破坏程度，我们先定义对应的荷，我们有平均场层次的夸克自由度拉氏量：

对上式做热力学平均，可以看出在平均场层次QA为零，公式中QA的定义与QCD拓扑荷类似，QCD拓扑荷代表了UA(1)对称性因为Instanton效应带来的破缺，它对应的磁化率代表了破缺的大小。

而在NJL模型里，可以有类似的项去模拟QCD拓扑荷,QA代表了UA(1)对称性因凝聚σ,δm,π0,η存在而产生的破缺，同样我们可以用相应的磁化率去量化这种破缺的强度。

在这种意义上,QA在式里可以看做是凝聚σ,δm,π0,η带来的“UA(1)对称性自发破缺”部分，而这种形式的对称性破缺归根结底还是由电磁场I2引起的,因此QA有着和拓扑荷不同的物理意义，我们称之为UA(1)荷。

集体激发模式

继续考察平均场之上的介子集体激发模,大同位旋化学势下π超流的带电集体激发模会受到影响并发生混合，而在大重子化学势下的色超导混合的模式则是色diquark部分。

平行电磁场会使得不带电的集体激发发生混合,通过随机相近似(RPA)处理，我们把作用量展开到（场的）量子涨落的平方阶，中性模式的极化函数一般性地可以写为:

把欧式传播子中动量第4分量设为q4=imM，并令其他三分量qi≠4=0即可求解集体激发模式的极点质量味道空间的矩阵形式可以写为:

对角化上述有效介子传播子我们可以得到本征质量模式的传播子的逆，这里把这四个本征模式定义为Σu,Σd,Ⅱ0u和Ⅱ0d:

零温下电场和磁场对手征凝聚的效果总是相反的，对于E=B的情形，下图表明随着I2的增大mf以及相应的Mf总是在减小，电场的抑制作用强于磁催化效应，这与之前胶子场中类似的计算也吻合。

手征转动和磁催化的竞争效应

在平行电磁场中，只保留第二洛伦兹协变量研究了手征相变和UA(1)对称性的破缺,电磁场手征反常引起的手征转动效应(CRE)在较小的I2占据主导效果使得σ凝聚降低，而我们知道零温下因为强磁场带来的维度降低，会引起磁催化效应(MCE)。

因此当磁场B在固定的电场强度E下变化时，就会发生在手征凝聚上的CRE和MCE的竞争,更加严格地说，是洛伦兹第一协变量对应的磁催化效应和第二协变量对应的手征转动效应的竞争。

为了研究这两种效应的竞争机制，我们要把传播子里电场E和磁场B都保留下来，写出更一般的能隙方程:

采用真空正规化机制,巨热力学势也可以从对m的能隙方程和π0的能隙方程积分得到:

我们虽然是在零温的情形下导出了上式，但是通过重新定义动量空间传播子的P4→ωn+iμ，也可以引入温度和化学势的效应，不过对动量的积分变为频率的求和而已。

模型参数主要是通过拟合π介子质量mπ=134MeV和相应的衰变常数fπ=93MeV以及对应的夸克凝聚得到的。

下图展示了对于不同的电场E和磁场B动力学质量m变化的三维图像，在纯电场或者纯磁场极限下π0为零，因为此时电磁场洛伦兹第二分量I2=0，也就不存在平行电磁场带来的手征反常。

对于电场E和磁场B都不为零的区域，会出现有趣的现象：小电场下动力学质量m始终随着B增大而增大，在电场不大的区域则是随着磁场增大先增大后减小，在大电场区域则是随着磁场一致减小。

而对于π0凝聚，在给定的电场强度下始终会随着磁场增大而增大，而对于给定的磁场最终会随着电场的增大而减小,另外，当我们考察动力学质量m=0时，其实是在看手征转动的终点,动力学质量m的行为，正是磁催化效应和手征转动效应竞争的体现。

接下来我们将在小电场大磁场的极限下，半定量分析动力学质量m如何随电磁场变化,平行电磁场中π0凝聚。

由于F（M）随着M单调递减，而且等式左边m0总是远小于m，所以我们去掉这两项后上式近似为：

而对于纯电场极限(B→0)可以通过代换|qfB|→i|qfE|得到,将两式结合后，能隙方程可得到关于M的渐进形式(其中B→∞)：

以上的定性行为同样也出现在了Lattice QCD的计算之中，而NJL模型中该凝聚在纯磁场中正比于手征凝聚，也就是说M=((π0)2+m2)1/2依然会保存有磁催化效应。

最终我们可以得到一个临界电场Ec，小于该值时动力学质量m会随磁场增大而增大，而大于此值会随磁场增大而减小:

可以理解成在此临界值Ec以上，动力学质量m将无法随磁场增大而增大，手征转动会迫使M完全处在π0的区域。

笔者观点

笔者认为，实验弥补了在电磁场带来的手征反常的相关研究，尤其是它对手征对称性的影响方面，这些对于之后在夸克物质在电磁场的探索也提供了思路。

而电磁场可以通过手征反常产生非零的中性π0凝聚和同位旋单态赝标量η凝聚，这一发现修正了对手征对称性破缺模式的认识。

参考文献

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