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单墫教授主编的1992版数学奥林匹克中有这么一道不等式题目:
书中给出的解法是使用含参数的不等式,如下:
这种含参数的基本不等式近年来在一些高考模拟题中也经常出现,具体可以参考笔者《可以看笔者《使用含参数不等式解题》一文。
不过使用含参数的不等式通常技巧性较强,那有没有比较“一般”的方法呢?答案是肯定的,这个方法就是我们比较熟悉的配方法,如下:
这种方法计算相对复杂,不过在一些变量取全体实数时比较有效,例如下述不等式:
这个不等式就是在笔者《三角形三边线性平方和为常数,求面积最大值题目背景分析(一)》一文中,曾经介绍过的Wolstenholme不等式,那篇文章中第一种证明方法就可以看作是配方法。对上述不等式进行如下操作即可得到开头的不等式:
不过这里还有一个问题就是我们假设的三角形一定存在吗,答案还是肯定的,下面给出理由并对该不等式进行一下推广:
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