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今天老黄要介绍高次方程有重实根的规律，以及利用这个规律，介绍一种有重实根的五次方程的解法。
首先，试证明多项式对应的高次方程有r重实根a时，多项式的导函数对应的方程必有r-1重实根a。
依题意，我们可以假设多项式的形式为P(x)=h(x)(x-a)^r，由于原方程只有r重实根a，所以h(a)肯定不等于0。
然后我们对原多项式求导，P’(x)=(x-a)^(r-1)[h’(x)(x-a)+rh(x)]. 这是积的求导公式的运用，并且提取了公因式(x-a)^(r-1)。
又当x=a时，[h’(x)(x-a)+rh(x)]|=rh(a)≠0，所以a必是P’(x)=0 的 r-1重实根.
其实就算rh(a)=0，也不会影响“a是P'(x)=0的重实根”的结论，不过就不能确定a是P'(x)=0 的 r-1重实根。
事实上，这是可以用罗尔中值定理来理解的。假如原多项式有两个重根a，把两个a之间看作一个区间[a,a]，虽然这个区间内部除了a，没有其它点，但是原多项式表示的函数在这个区间上仍可以理解为符合罗尔中值定理，因此必存在一点使它的导函数值等于0. 又因为在[a,a]上只有a自己，因此这个点就只能是a了，从而从原多项式函数的重根a，变成了多项式函数的导函数只有a一个根。
那么这个结论怎么就跟五次方程的求解产生联系了呢？当然，有重实根的五次方程可解，已经被证明且解决了，不过这并不妨碍老黄继续探究。
假设五次方程有且只有两个非零重实根x0，（如果x0=0，实际上就不是五次方程了)，那么五次方程就可能写成下面的形式：
(x-x0)^2(x^3+bx^2+cx+d)=0.
记f(x)=(x-x0)^2(x^3+bx^2+cx+d)=0，则
f’(x)=(x-x0)((3x^2+2bx+c)(x-x0)+2(x^3+bx^2+cx+d))
=(x-x0)(5x^3+(4b-3×0)x^2+(3c-2bx0)x-cx0+2d).
解四次方程：(x-x0)(5x^3+(4b-3×0)x^2+(3c-2bx0)x-cx0+2d)=0,
就可以从四次方程的四个根中得到五次方程的重实根x=x0了。
最后只要解三次方程x^3+bx^2+cx+d=0就可以得到五次方程的所有根了。
其实有三个，四个，甚至是五个重实根，都可以这样解，而且重实根的个数越多，解起来越方便。
有人可能会说，老黄你真啰嗦，知道有重实根，直接最后一步不就可以了吗？拜托！我们这里讲的是知道有重实根，但不知道重实根的具体大小的情况。
那么我们可不可以用待定系数法来求这个重实根呢？如果你觉得那样会更简便的话，大可以自己动笔试试看。另外，如果五次方程有重复的虚根，可以这样求吗？事实上类似的是可以的。只不过过程会有所不同。有兴趣也可以动手试一试。
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