浅谈黎曼度量的计算问题

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黎曼度量的计算问题，这是一个介于基础数学和应用数学之间的问题，一方面具有强烈的理论价值和美学价值，另一方面也具有巨大的实用价值。黎曼度量是微分几何的核心概念，计算黎曼度量自然具有根本的重要性，也具有本质的难度。很多工程领域的基本问题，例如计算机图形学中的曲面纹理贴图，计算机视觉中的形态识别，动态追踪，自动驾驶，工业软件中的几何建模，网格生成，和医学图像领域中的基本问题，例如器官配准，癌症诊断等等最终都归结为求取某种黎曼度量。但是，传统的数值计算方法，例如有限元方法、有限体积法等等无法直接用于计算黎曼度量。

黎曼度量的计算问题可以简单归纳为下面几个问题：1. 给定拓扑，如何计算流形的标准黎曼度量，例如常值曲率度量；2. 给定曲率，如何计算满足曲率条件的黎曼度量；3. 给定特定条件，例如和乐群，如何计算满足条件的黎曼度量；4. 给定黎曼度量，如何计算流形的等距嵌入。针对不同维数的流形，不同拓扑的流形，不同要求的问题，我们需要用到不同的基础理论和不同的计算方法。并且，无论从基础理论层面还是实用算法层面，这些问题都远未解决，有待基础数学家、应用数学家、计算机科学家和工程师们的持续探索。

曲面度量的计算

曲面上黎曼度量的计算问题目前发展相对成熟，其基础数学的理论基础早在一百多年前就已经奠定：克莱因（Felix Klein）在1883年、庞加莱（Henri Poincare)在1882年分别提出黎曼面（代数曲线）的单值化猜想，庞加莱和Koebe在1907年分别给出严格的证明。曲面单值化定理是说任何带有黎曼度量的曲面，都可以保角变形成常高斯曲率曲面；换言之，任何带度量的曲面都可以（周期性地）保角映射到三种标准空间中的一种：单位球面（零亏格曲面），欧氏平面(壹亏格曲面)，双曲圆盘（高亏格曲面）。虽然这一定理非常古老，但是非专业数学背景的普罗大众理解起来依然困难重重。最为本质的障碍在于双曲曲面虽然客观存在，但是无法在三维现实空间中实现，因而无法被人类感官所感知，只能仰仗抽象思维。

凸曲面度量的计算

凸曲面的黎曼度量计算问题相对简单，其基础理论在1950年代由俄罗斯学派建立，主要包括闵可夫斯基（Minkowski）问题，亚历山大（Alexandrov）问题和伟伊（Weyl）问题，高维推广由丘成桐先生，Nirenberg，Pogorelov在1970年代完成。

闵可夫斯基问题：给定一个光滑凸曲面嵌入在三维欧式空间中，通过高斯映射，我们将曲面上任意一点映到该点处的单位法向量，由曲面的凸性，高斯映射是微分同胚。我们可以用高斯球面来参数化凸曲面。我们将曲面的高斯曲率通过高斯映射前推到高斯球面上，得到球面上一个正值函数。如果给定高斯曲率函数定义在高斯球面上，如何反求凸曲面形状（从而得到曲面的黎曼度量）？

闵可夫斯基问题离散化之后等价于给定凸多面体每个面的法向量和面积，反求凸多面体。我们将每个面的高度设为变量，高度与面积的加权和为常数，极大化多面体的体积，如此可以求得凸多面体。

图1. 用球面最优传输映射求解亚历山大问题：通过高斯曲率反解凸曲面。

亚历山大问题：假设原点在凸曲面内部，我们用极坐标表示凸曲面，即凸曲面被表示为定义在单位球面上的径向函数。我们将凸曲面的高斯曲率视为定义在单位球面上的正值函数。如果给定高斯曲率函数定义在单位球面上，如何反求凸曲面形状（从而得到曲面的黎曼度量）？

亚历山大给出解的存在性证明依赖于代数拓扑方法，而非构造性算法。笔者团队在2019年给出了亚历山大问题的构造性算法。令人惊讶的是凸微分几何的亚历山大问题等价于概率统计中的球面最优传输问题，而最优传输理论又是生成式AI的理论基础。如图1所示，单位球面上定义了两个测度，一个是高斯曲率定义的测度，一个是传统的豪斯道夫测度，存在唯一的最优传输映射最为经济地将一个测度变换成另外一个测度，而这个传输映射由某个凸径向函数的广义梯度映射给出，这个凸径向函数就是亚历山大问题的解。并且，这个定理可以向任意维直接推广。

韦伊问题：在单位球面上给定一个黎曼度量，满足高斯曲率恒正，求曲面在三维欧式空间中的等距嵌入。韦伊问题比亚历山大的问题困难一些，因为曲面的参数化未定，所有可能的曲面参数化构成了球面的微分同胚群，过于庞大。这个问题的离散化提法如下：我们有一个零亏格的三角网格（二维单纯复形），给定边长使得在每个面上满足三角形不等式，同时每个顶点的离散高斯曲率为正，求每个顶点在三维欧式空间中的坐标，使得每条边长等于两个顶点间的欧式距离。一种嵌入的算法思路如下：假设我们得到了三角网格在欧式空间中的实现，那么其内部是一个凸多面体，选定多面体的中心，从中心向每个顶点连接直线，多面体被分割为多个四面体，每个三角形对应一个多面体。反之，为网格中的每个三角形构造一个四面体，满足相容性条件，即不同四面体中连接相同顶点到中心的边长彼此相等，然后将所有四面体粘成一个带有锥奇异点的欧式三维流形。我们将顶点到中心的距离设为变量，定义在所有带有锥奇异点的欧式度量构成一个有限维空间。考察定义在这个空间上的希尔伯特-爱因斯坦能量。希尔伯特-爱因斯坦能量的梯度就是定义在每条边上的离散里奇曲率。困难在于，这个能量既非严格凸也非严格凹，但是沿着欧式度量构成的空间中特定的路径，希尔伯特-爱因斯坦能量的Hessein矩阵非奇异，内部边长到离散里奇曲率的映射可逆。我们可以反解，通过零里奇曲率求得内部边长。

图2. 曲面单值化定理。

曲面单值化度量

单值化定理是曲面微分几何中的最为重要而基础的定理，因此寻找单值化黎曼度量的计算方法一直是数学家和计算机科学家努力追求的目标。笔者在丘成桐先生的指导下攻读博士期间就开始了这方面的研究。在过去二十年间，德国学派、法国学派、美国学派、以色列学派和中国学派的学者展开了极其激烈的竞争，最终丘成桐先生领导的中国学者们在2018年于微分几何期刊上发表了离散单值化定理的完整证明，从而正式奠定了算法的理论基础。在漫长的学术竞争中，笔者和合作者们走过了崎岖蜿蜒的探索之路，也经历了难以想象的来自其他学派的巧取豪夺，暗箭明枪，整个过程可谓跌宕起伏，惊心动魄。所幸在基础定理被证明110年后，严格的离散算法被发明出来，这再一次验证了基础理论具有前瞻性，从理论到技术往往经历数十年乃至上百年。

对于亏格为零的封闭曲面，在丘先生的指导下，笔者在博士论文中提出了基于曲面调和映照理论的方法求解常曲率度量。具体而言就是首先计算曲面的高斯映射，然后计算映射的Laplacian，调节映射减少调和能量，同时用莫比乌斯映射保持映射像的质心在单位球面的球心。最后，我们会得到唯一的调和映射。这一调和映射的Hopf微分是全纯二次微分，而零亏格封闭曲面的全纯二次微分必然为0，从而调和映射必为保角映射。

对于亏格为壹的封闭曲面，丘先生与笔者同样在博士论文中发明了基于Hodge理论的全纯微分形式的算法。Hodge理论是连接拓扑和分析的伟大定理：在每一个de Rham上同调类中，存在唯一的调和微分形式。我们通过计算拓扑方法，可以求得曲面的上同调群的基底，然后在给定上同调类中，通过求解椭圆型线性偏微分方程，求得对应的调和微分形式。每一个调和微分形式有一个共轭调和微分，它们一同构成了全纯微分形式。全纯微分所诱导的黎曼度量就是曲面的单值化度量，即欧氏度量。

对于高亏格的封闭曲面，情形复杂很多，调和映照理论和Hodge理论无法直接给出算法。为了证明庞加莱猜想，在1970年代后期，在丘先生的建议和合作下，哈密尔顿教授（Richard Hamilton）提出了里奇流理论（Ricci Flow）。里奇流依据曲率来变形黎曼度量，使得形变速度正比于当前的曲率，曲率依随时间的演化满足扩散-反应方程，如果扩散项占优，曲率会收敛到常值；如果反应项占优，在有限时间内，在流形的某些点处会出现曲率爆破现象，这时候，我们将流形沿着爆破处切开（手术），将切开后的每一片接着用里奇流变形。哈密尔顿教授在1982年和笔者的师兄Ben Chow在1991年证明了曲面里奇流最终会收敛到常值曲率度量。经过多年的探索，我们将曲面里奇流理论从光滑流形推广到离散流形上面，在2018年证明了离散曲面里奇流会收敛到双曲度量，这时据哈密尔顿教授的理论工作相距了36年。

瑟斯顿（Bill Thurston）在1980年代初期，为了研究三维流形的拓扑，也思考过类似的问题。他用圆盘填充方法（circle packing）给出了组合意义下，单值化度量的算法。但是瑟斯顿方法有两个局限：首先，任意给与一个离散曲面具有初始黎曼度量和初始三角剖分，我们无法找到一个圆盘填充与之吻合；更为严重的是如果目标曲率不满足一系列的组合不等式，那么圆盘填充的方法无法给出目标黎曼度量。因此瑟斯顿的方法无法真正达到实际应用要求。数十年间，很多学派的学者都在尝试各种改进方法，保证解的存在性，论文汗牛充栋，但是一直无法实现真正意义上的突破。笔者与合作者们后来意识到问题的关键所在：所有的传统方法在里奇流过程中，都保持三角剖分固定不变；而从几何而言，黎曼度量是本质，三角剖分是从属于度量，应该依随度量变化而变化，在里奇流过程中，三角剖分应该随之自然演化。思想转变之后，一切理论问题迎刃而解。我们建立的离散曲面里奇流理论适用于任何复杂的拓扑，和更加一般的目标曲率，只要目标曲率满足高斯-博纳定理（Gauss-Bonnet），那么里奇流一定会算出满足要求的共形度量。

满足和乐条件的黎曼度量

今年来，依随新能源汽车产业的兴起，工业软件即CAD/CAE领域日益受到重视。CAD/CAE领域中的一个基本问题是构造复杂曲面的结构化四边形网格，这等价于计算曲面的一个带有锥奇异点的共形平直度量，使得这个度量的和乐曲群满足特定条件。自从1970年代CAD技术的诞生之日起，这一问题一直困扰着庞大的制造工业，无数的应用数学家和工程师一直寻找四边形网格奇异点所满足的微分方程。笔者团队在2021年左右发现这个问题等价于黎曼面上全纯线丛示性类问题，从而用代数曲线中的阿贝尔-雅可比理论加上里奇流理论加以解决。其实，阿贝尔理论诞生于1820年代，这再一次证明了基础数学的前瞻性。同时，这一CAD/CAE领域中的基本问题历经50多年才被解决，这也证明了透彻理解工程领域基本问题、找到恰当的理论工具加以解决的内在难度。

三维流形的黎曼度量计算

三维流形的情形可以被视为曲面情形的直接推广，但是理论层面和算法层面都复杂了很多。主要的原因在于绝大多数三维流形都无法在现实世界中实现，日常生活经验无助于建立三维流形理论的直觉，试图理解三维流形的定理需要强大的空间想象能力和比较深入的拓扑几何背景知识。很多时候，当直觉尚未建立起来的时候，只能依靠逻辑推理。

早期三流形拓扑的研究手段主要是组合，其思想是将一个流形沿着特定曲面切开得到两块，每一块的拓扑都比原来的流形简单。这要求分割的曲面满足所谓的不可压缩条件，即如果曲面上有一个圈，能够在背景三维流形上缩成一个点，那么这个圈在曲面上也能缩成一个点。这等价于包含映射将曲面的基本群映入到三维流形的基本群，这个群同态是单射。我们递归地将每一块再继续切割下去，直至无法找到不可压缩曲面。这种分而治之的策略依然无法令人深刻地理解三维流形的拓扑。另外一种方法是Dehn手术，就是从三维流形上挖去一个实心轮胎，将轮胎表面扭转后在粘回去，如此就改变了流形的拓扑。从三维球面出发，经过Dehn手术，我们可以生成所有的闭3流形。

1980年代，瑟斯顿提出了几何化纲领，通过几何来帮助理解拓扑，彻底革命了整个三维流形拓扑领域。三维流形的几何化纲领是曲面单值化定理的推广：三维流形先沿着球面（球面的内部或者外部不是三维圆盘）切开，分解成所谓的素流形。米尔诺证明了这种分解的唯一性。素的三维流形再沿着不可压缩的环面（轮胎面）切开（JSJ分解），最后得到的三维流形上可以配备八种标准几何中的一种。瑟斯顿自己在哈肯流形情形证明了几何化猜想。哈密尔顿提出了基于带手术的里奇流纲领来证明几何化猜想。2003年，佩雷尔曼沿着哈密尔顿的纲领证明了几何化猜想，但是缺少关键的证明细节。

从计算角度而言，素流形分解和JSJ分解算法的核心是找到不可压缩球面和环面，这可以通过组合方法求得，但是目前的算法将三维流形用单纯复形来表示（四面体网格），然后计算所有可能的正规曲面，从中挑选不可压缩曲面。正规曲面的个数与四面体个数呈指数关系，因此这种组合算法复杂度是NP。寻找不可压缩曲面的高效算法是目前一大瓶颈问题。JSJ分解后得到的带边三维流形，下一步就是计算这种流形上的标准黎曼度量。

图 3. 环面扭结和卫星扭结。

瑟斯顿给出了如下的经典算法：JSJ分解后的三维流形边界是拓扑环面，绝大多数情形下标准黎曼度量是具有有限体积、完备、带有尖点的双曲度量，尖点的邻域边界为3-流形的边界环面，双曲度量限制在边界环面上成为欧氏度量，边界环面为三维双曲空间中的horosphere。瑟斯顿将3-流形进行三角剖分，得到理想双曲四面体，理想四面体的顶点都在无穷远处，粘和后这些顶点构造3-流形的尖点；然后将每个理想双曲四面体的顶点用horosphere截除，得到截头理想双曲四面体；切除的顶点邻域粘和后构成一个实心轮胎，其边界为带有欧氏平直度量的拓扑环面。所有可能的理想双曲四面体构成的形变空间为两维，每个理想双曲四面体用一个复变量来表示。所有的理想双曲四面体粘和后满足两个条件：曲率条件和完备条件。所谓曲率条件就是说粘和后得到的双曲四面体网格的每条边上离散里奇曲率为零；所谓完备条件就是说理想双曲四面体的截头部分粘和后构成了环面，双曲度量在其上面限制为环面的单值化欧氏度量。我们通过这两个条件建立所有复变量的代数方程组。瑟斯顿证明这一代数方程组解的个数有限。我们通过求解这个代数方程组，从而得到3-流形的双曲度量。

图4. 最简单的双曲扭结：8字扭结。

瑟斯顿方法在研究扭结的拓扑方面取得了巨大的成功。扭结一直是低维拓扑的核心研究课题，如何判断两个扭结是否本质相同（即扭结的同痕问题）实际上超越人类的直观经验。瑟斯顿证明除了所谓的环面扭结和卫星扭结（图3所示）外，所有扭结的补空间都是双曲的，可以通过补空间的双曲几何来识别。例如，图4显示了一个登山时常用的经典8字扭结（两端在无穷远处连接起来）。整个三维欧氏空间挖掉这个扭结之后剩余的空间是一个双曲三维流形。

图4. 8字扭结补空间的三角剖分。

瑟斯顿看出8字扭结补空间可以由两个截头四面体粘和而成，图4显示了这两个四面体的粘和方式，同样颜色的两个面粘和，粘和的面上箭头个数与方向一致的两条边粘和。如此扭曲粘和之后所得到的四面体网格只有一个顶点，两条边。每一个初学3-流形拓扑的人，首次看到8字扭结补空间居然可以这样进行三角剖分，都无比震惊。对于瑟斯顿的空间洞察力都觉得 不可思议。

图5. 实心球挖掉3个虫洞，双曲3-流形边界是完备双曲曲面。

离散曲面里奇流方法也可以推广到三维流形情形。例如，对于双曲三维流形，其边界为完备的双曲曲面（图5所示），笔者团队给出了离散3流形里奇流方法，计算双曲度量。首先，我们将三维流形三角剖分，分解成双曲四面体，但是每个顶点用双曲平面截除。我们将所有边长设为未知变量，优化希尔伯特-爱因斯坦能量，其梯度流就是离散里奇曲率流。里奇流最终给出3-流形的双曲结构，如图6所示。这种方法可以推广到更加一般的双曲三流形上面，特别地，离散曲面里奇流本质上也是在特殊双曲三维流形优化希尔伯特-爱因斯坦能量。

图6. 由里奇流得到的3-流形的双曲结构。

与2018年以前，离散曲面里奇流理论类似，三维流形黎曼度量计算面临着同样的问题：如何选取合适的三角剖分！如果三九剖分选取的恰当，则瑟斯顿算法或者里奇流算法会收敛到标准度量；否则，优化过程中会出现退化的四面体，算法终止。目前，即便是对于扭结的补空间，良好的三角剖分是否存在，理论上没有定论，算法层面也无法保证。这个领域的研究依然任重道远。另一方面，由于三维流形理论比较艰深，算法尚未成熟，目前在工业界还没有找到关键应用。但是笔者相信CAD/CAE领域中的一些艰深的基础问题，最终的解决方案必然涉及到三维流形的黎曼度量计算。

二维、三维流形的黎曼度量计算方法比较

固定二维曲面的拓扑，所有的黎曼度量可以分成共形等价类，所有的共形等价类构成有限维的空间，即Teichmuller空间。每一个共形等价类里面，存在唯一的单值化度量。三维流形具有所谓的Mostow刚性，即标准黎曼度量由其拓扑结构所决定。更为精确的表述是具有有限体积的双曲3流形，其几何由其基本群所决定。对于带边界的双曲3流形，其内部的双曲结构尤其边界曲面的共形结构所决定。因此，对于曲面计算而言，我们需要高密度的三角剖分，并且带有初始黎曼度量，从而决定其共形结构；对于封闭3流形，我们不需要初始度量，同时尽量简化三角剖分，根据刚性定理，只要保持流形的拓扑不变，计算的双曲度量也不变。但是对于带边3流形，我们需要边界的高密度三角剖分和初始度量，从而决定边界的共形结构，从而从边界曲面的共形结构计算得到3流形内部的双曲度量。

小结

黎曼度量是微分几何的核心概念，黎曼度量的计算问题具有根本的重要性。围绕这个主题，我们需要深入理解掌握各种数学理论，并且将传统理论从光滑流形推广到离散流形，从基于拓扑的存在性证明深化到基于变分的构造性证明。

来源：老顾谈几何

编辑：蓝多多