数字魔法-数论中的神奇现象

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数论，作为数学的分支之一，主要研究整数的性质。在这个世界里，简单的数字通过特定的规律和性质，却能展现出神奇的性质。现在我们疏理一下与数论有关的一些神奇现象。

一、立方和等于平方和

我们知道自然数前n项立方和等于它们的和的平方。即

1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)²

法国数学家刘维尔发现，具有这种性质的正整数集远不止这一个。而且提出了一种生成具有这种性质的正整数集的方法，就是刘维尔定理。假设N是一个自然数，它的所有因数(包括1和本身)分别为

1、X1、X2…Xn、N。

每个因数Xi的所有因数个数记为Yi，则有

Y1^3+Y2^3+Y3^3+…+Yn^3=(Y1+Y2+Y3+…+Yn)²。

下面举例说明。如自然数5，因数有1和5，1和5的因数个数分别为1、2。而1^3+2^3=9=(1+2)²。所有素数都相同，下面验证两个合数。例如45，因数有1、3、5、9、15、45。因数的因数个数分别为：1、2、2、3、4、6。而1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=324=(1+2+2+3+4+6)²。再例如36、因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，因数的因数个数分别为1、2、2、3、4、3、6、6、9。而

1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+3^3+6^3+6^3+9^3=1296=(1+2+2+3+4+3+6+6+9)²。

二、6147数字循环

任取一个四位数A1A2A3A4,A1,A2,A3,A4不全相等，用A1,A2,A3,A4这4个数字排出一个最大四位数，再排出一个最小自然数，对两者之差再重复这种操作，结果如何？

例如1234:用1,2,3,4组成的最大的数为4321,最小的数为1234,差为

4321-1234=3087

3087:重复上述操作得

8730-378=8352

8352:重复上述操作得

8532-2358=6174

6174:重复上述操作得

7641-1467=6174

再重复进行上述操作，永远得出6174,至此已落入“6174循环”。

再看一个实例8964:

8964:9864-4689=5175

5175:7551-1557=5994

5994:9954-4599=5355

5355:5553-3555=1998

1998:9981-1899=8082

8082:8820-288=8532

8532:8532-2358=6174

经七步终于掉入6174循环。可以证明最多经过七步，运算结果必掉入6174循环，即任意四位数，只要其数字不全相等，则由这四个数字组成的最大数与小数之差的反复操作，在七步之内必得出6174,之后再执行上述运算，则永远得出6174。上述实例8964已是最复杂的循环了（要经过七步才进入循环）。

三、任意自然数数字平方和非1即4

任取定一个自然数，求其数字平方和，再求所得结果的数字平方和，反复执行，最终结果会是多少

1、1²=1

2、2²=4,4²=16,1²+6²=37,3²+7²=58,

5²+8²=89,8²+9²=145,1²+4²+5²=42,4²+2²=20,2²+0²=4。可见从2开始，会周期性的出现结果4和4,16,37,58,89,145,42,20的循环。

3、3²=9,9²=81,1²+8²=65,6²+5²=61,

6²+1²=37。

从此开始又出现从2开始的运算部分，可见从3开始，会进入4,16,37,58,89,145,42,20的循环。

以上是以4为循环结束的数，下面看两个以1为循环结束的数。如91：9²+1²=82,8²+2²=68,6²+8²=100。很明显了，最后等于1。再如23：2²+3²=13,1²+3²=10。最后也得到了1。

已经证明最终结果对任何自然数不是1就是4,16,37,58,89,145,42,20的循环。

总结

其实，像这样的数字魔法还有很多，比如统计自然数奇偶位数的1、2、3数字黑洞、逢奇乘3加1、逢偶减半的4、2、1死循环等。而且这种有趣的现象还在不断的发现。看来数学探索真是永无止境。