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向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段表示。
由于向量是可以平移的，所以，任何向量的起点都可以是坐标原点。
这个原点既可以是二维的坐标原点，也可以是三维的坐标原点。
在二维平面内，任意一个有向线段都可以表示为两个“取定”向量的线性组合，也就是可以都可以被两个“取定”向量分解。
我们如果采用平面直角坐标系，那就意味着任何有向线段都可以被正交分解。
如上图：如果点A的坐标为（x，y）,则向量:
其中
是X轴、Y轴上的单位向量，它们的模为1。
也就是说，向量OA可以用x轴的x倍的单位向量和Y轴上的y倍单位向量表示，那么，我们直接用点A的坐标(x，y)一样可以表示向量OA的大小和方向，也就是可以直接写成：
这就是向量的坐标表示。
其实，向量OA既然是空间的有向线段，在坐标系中，天然可以使用坐标表示，有向线段的长度是原点和A点之间的距离，方向由点的坐标确定。
既然向量可以用坐标来表示，那向量的计算，当然也可以通过坐标来进行。
如图：
向量OA和向量AD相加，根据三角形法则，结果为向量OD。
D点的坐标为（6,5），也就是：
如果把向量AD平移到OD’的位置，此时向量OD’=（3,1）
向量OA=(3,4)，所以，
与上面使用三角形法则结果是一致的。也就是说，两个向量相加，实际上是它们的坐标相加。
写成公式就是：
同样，向量的数乘也是直接把系数乘进去就可以：
向量的数量积就是两个向量的对应坐标相乘再相加：
这个值是和集合运算的结果等价的，也就是：
也就是说，几何运算的结果和坐标运算的结果是等价的，这一点常常会作为高中数学的考点，通过坐标运算来考察两个向量在方向上的相似度，也就是通过坐标运算获得结果后，反过来通过几何运算获得夹角的余弦值，从而评价两个向量的夹角大小。
一样东西，两套系统，结果等价。
这其实也是从纯粹的“几何”发展到“解析几何”之后，给我们带来的巨大福利。
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