重学数学02天

欢迎大家来到IT世界,在知识的湖畔探索吧!

重学数学02天

目标：

1. 高维度建模
2. 代数图像建模
3. 拆分建模（4维物体的3维展开）
4. 陡峭度slope（斜率）建模

第4个思维模型，高维度建模

01天中，我知道了二维平面中长方形rectangle的面积area的建模

本质上，长乘以宽是目标长方形大小与单位长方形大小之比，或者说意味着目标长方形大小中可以放w*L个单位长方形，这个单位长方形我们通常设置为1，为了美观好书写

现在的问题是，3维以及3维以上盒子类物体能否进行类似的建模呢？

三维物体的三条边，长宽高，分别的代号是length，width，height，简写形式为L，W，H。

首先回顾一下平面大小的定义，当宽W不变的时候，长L增加一倍，整体面积Area增加一倍，我们同理推出，在三维盒子型物体中，当长增加一倍，三维物体的整体空间Spaces大小也是增加一倍，那么使用函数模型的缩写形式为：

Spaces(2L,W,H)=2Spaces(L,W,H) (1.1.1)

同理，适用于宽W增加一倍，或者高H增加一倍，缩写形式为：

Spaces(L,2W,H)=2Spaces(L,W,H) (1.1.2)

Spaces(L,W,2H)=2Spaces(L,W,H) (1.1.3)

由于L,W，H均可以表达为数字形式，L*1，W*1，H*1，所以上面的缩写可以调整为：

（1.1.1）

Spaces(L,W,H)=LSpaces(1,W,H)

（1.1.2）

Spaces(1,W,H)=WSpaces(1,1,H)

（1.1.3）

Spaces(1,1,H)=HSpaces(1,1,1)

所以得到

（1.1.3）

Spaces(L,W,H)=LWHSpaces(1,1,1)

三维物体的大小的建模与二维物体的大小建模如此相似，那么，我可以设定，更高维度的盒子型空间BoxTypeHigherDimensionalSpaces的大小缩写为HSpaces(L1,L2…Ln)，其中n代表无限多的自然数，那么一定满足类似的设定：

HSpaces(L1,L2…Ln) = L1L2…LnHSpaces(1,1…1)

第5个思维模型，代数图像模型

引入一个令人困惑的缩写：

或者更常规的缩写：

转化成图像就清楚了：

并不是说一定要将代数的内容统统转换成图像，而是强调发明创造的过程比直接的缩写要更好理解，用更好理解的方式去学习建模，才算是真正掌握建模方法。

接下来，继续引入一个令人困惑的缩写：

明显是一个三位空间里的图形，尝试将这个图画出来，画出来后发现依然可以理解。

那么再引入一个更加困惑的缩写：

到这里，我发现很难再画出4维及以上的图形了，以前一直沿用的建模习惯突然变得不好用起来。如何解决这种建模问题呢？

第6个思维模型，拆分模型

现在有一个长方形，沿着当中的一条线拆分成两块，

，

用代数形式表现出来是w*(L1,L2)=w*L1+w*L2，如果w这条边抽象成某个物体，那么建模缩写可以表达为：

一个物体*（a+b）=一个物体*a+一个物体*b。

这个物体如果是（a+b），那么拆分的目标就是一块正方形，画出来的样子就是

如果这个物体是（c+d）那么拆分的目标就是一块矩形，画出来就是

如果这个物体是(a+b)(a+b)，那么拆分的目标就是一个立方体，

代数式写出来就是(a+b)(a+b)(a+b)，画出来就是

这个物体魔力很大啊，以此类推的话，可以提供一个观察4维空间物体及以上的更高维度的物体视角，例如4维物体通过3维的部分进行拆分，代数式可以写成

虽然画不出来图像，但是我们知道4维物体拆分后一定是两块三维的部分

可以粗暴的理解为，a个三维体+b个三维体

举例：如果a=2，b=2，那么4维立方体的3维展开代数为：

图像可以理解为4个(a+b)(a+b)(a+b)：

突然觉得星际穿越好牛逼啊，最后的设定的简单理论依据大概是：

第7个思维模型，陡峭度（斜率）模型

通过维度建模和拆分模型，现在对代数的展开已经不那么惧怕了，反而有点小激动，接下来将掌握陡峭度的模型建模，为自学微积分的部分打下基础。

首先我们描述一个东西很斜，站在广州塔下看下面的风景又觉得很陡，这个陡的程度与斜的程度在英文中叫slope，所以跟斜的程度有关的函数我就用slope的简写S代替，在给出缩写之前，先直观的感受一下倾斜度：

明显slope1比slope2的程度要低，大白话就是感觉上slope1没有slope2这么陡峭，接下来根据已经知道的条件（目前什么也没有），给出最简单陡峭度模型：

Slope（？）=？简写为S（？）=？

在生活中，这样的陡峭程度，不仅仅是一座山给人的感觉，在任何地方，一个倾斜的楼梯、一个倾斜的雕像，一个有坡度的房屋大梁等等，类似一个角度的模型，都让人感觉到有一定的陡峭度。当我们把自己当作一个点，放在这个角度的斜边上，无论我们在哪里，这个陡峭度都没有发生变化。

依然把我们的视角当作一个点，在slope1和slope2两个角的斜边上同水平位置移动，同时上升到相同的位置，两个点的针对自己角顶点的水平位置的位移是不一样的，明显slope1的水平移动要多于slope2的水平移动，即黄色线段的距离。

因此隐约地感受到，陡峭度slope（？），跟当前所注意的斜边上的点的位置没有关系，跟这个斜边上的点在位移过程中，上升的距离和横向移动的距离有关系。垂直vertical，水平horizontal，简写为V与H，因此改写陡峭度模型为：

Slope(V,H)=? 或者 S（V,H）=?

我们的经验中，当在评估一段斜边有多陡的时候，直觉上是将这个斜边当作一条直线，至少建模的时候应该简化成一条直线，方便研究特性。并且直觉还告诉我们，在斜边上的任意点的水平垂直位置（vertical,horizontal）并不影响该斜边的陡峭度，或者说在同一条斜边上，这每个点any-point（vertical，horizontal）的陡峭度应当是相同的。然后我们观察一个图：

假设有这样一条斜边，正好顶角的角度是45度，在斜边上有两个观测位置A，B。由于每个观测点都有垂直vertical与水平horizontal两个点，假设B 的horizontal是A的2倍,45度角的斜边上测量，可以测出A与B 两个观测点为A（V,H）,B(2V,2H)，由于一条斜边上的陡峭都处处相等，我们可以将A与B 两点的陡峭度的缩写呈现出来：

Slope（V，H）=Slope(2V,2H) 或者S（V，H）=S(2V，2H)

那么，如果V与H前面的数字不是2而是代表任意自然数的N呢（当然N在这里甚至可以包含小数）？也就是B点的vertical垂直位置上升到了N*H，那么B点的horizontal水平位置也就横移到了N*H处，表示为B（N*V，N*H），并且由于B点依然在这条观测的斜边上，B点的陡峭度Slope值依然=A点的Slope值，可以整理出缩写：

Slope（V，H）=Slope(N*V,N*H) 或者是 S（V，H）=S(N*V,N*H)

满足上面这种形式的等式，我们可以自行猜想几个：

以上的形式都符合设定 S（V，H）=S(N*V,N*H)

那么以上的建模是否都满足我们直觉中的陡峭度slope的设定呢？

接下来我们看一种倾斜程度的图：

对，就是一条直线，在直线上取一点A，这个时候，该点的陡峭度应该是多少呢？垂直距离是0，只有水平位移的情况下，Slope(V,H)=Slope(0,H)=0,完全平直的路是没有陡峭度的。

将Slope(0,H)带入到上面的几种情况，符合要求的有2个：

接下来我们可以继续通过直觉进行设定：假设陡峭度可以这样设定，如果水平距离不变，垂直距离增加1倍，那么slope的值也增加一倍，可以用缩写展示出来：

Slope(2V,H)=2Slope(V,H)

在这种情况下，符合要求的只有一种缩写：

所以，对陡峭度（书面常用语叫斜率）的建模缩写为：