若方程x²-(m+4)x+m²-3=0两根均大于1，求m取值范围之解析

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若方程x²-(m+4)x+m²-3=0两根均大于1，求m取值范围之解析

例:若一元二次方程x²-(m+4)x+m²-3=0两根均大于1，求m取值范围？

分析:

由题设条件知该一元二次方程有两根，有

△=(m+4)²-4×1×(m²-3)≥0；

两根都大于1，设x₂≥x₁>1，则只需较小的根大于1即可；

或x₁+x₂=m+4>2，f(1)>0；

解法①△≥0，

(m+4)²-4×1×(m²-3)≥0，

m²+8m+16-4m²+12≥0，

-3m²+8m+28≥0，

3m²-8m-28≤0，

(3m -14)(m+2)≤0，

-2≤m≤14/3。

由一元二次方程求根公式得

x=[m+4±√(m+4)²-4m²+12]/2，

x₁=(m+4-√-3m²+8m+28)/2>1，

m+4-√(-3m²+8m+28)>2，

m+2>√-3m²+8m+28，

m²+4m+4>-3m²+8m+28，

4m²-4m-24>0，

m²-m-6>0，

m>3或m<-2。

综上3

解法②

△≥0，x₁+x₂>2，f(1)>0，

△=(m+4)²-4×1×(m²-3)

=-3m²+8m+28≥0，

解得-2≤m≤14/3。

x₁+x₂=m+4>2，

m>-2；

f(1)=1-(m+4)+m²-3

=m²-m-6

=(m-3)(m+2)>0，

解得m<-2或m>3。

综上所述3