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环形磁场就是磁场约束问题,由r=mv/qB知,速度的大小或者磁感应强度大小效果是等同的,与半径大小也是等同的。
一:一条主线
找圆心,画轨迹,求半径,用关系
二:基本方法
放缩圆,旋转圆,平移圆
三:技巧
“五点六线三角”以及辅助线
四:临界条件
①轨迹圆与磁场边界相切,即速度方向沿磁场边界。
②轨迹圆与磁场边界点擦肩而过。
五:几何关系(勾股定理、余弦定理、正弦定理、三角函数等数学知识)
六:多解性
七:推论
带电粒子在内圆以任意方向发射,要求粒子约束在环内,粒子速度存在临界条件。
θ为入射角,引入轨迹圆作为弦切角,以下称弦切角。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图1 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
1.径向射入,必定径向射出
沿环半径方向射入,只要第一次被约束在环内,永远被约束在环内。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图3 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
2.垂直半径射入
若转动方向不明确,有二解(即大小圆之分)
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图5 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
3.非径向射入,非径向射出
从内圆射入磁场,必定向内圆射入,且与当时环半径夹角相等。只要第一次被约束在环内,永远被约束在环内。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图7 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
若转动方向不明确,有二解,即大小圆之分。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图9 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
八:任意射入
从环内圆任意点朝任意方向射入,连接发射点和环心,找到弦切角θ。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图11 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
最大圆半径公式:
θ为速度与环心和入射点连线的夹角(弦切角)。
R为θ角对应的最大圆周半径。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图13 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
“±”号是转动方向不明确,有两种情况。
九:入射角θ取值范围
θ的取值范围与k的关系。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图15 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
十:一个粒子和一群粒子
一个粒子的射入方向是确定的,对速度的要求只需要对应轨道半径:
R≤(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)
一群粒子的入射方向是变化的,所有粒子束缚在环内,就是求所有不同θ角的最大圆中的最小圆。
如同物理竞赛,先每个学校竞赛,挑一个成绩最好的同学,这些同学再次竞赛,又挑一个成绩最好的同学。
十一:实例分析
例题:真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图17 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(C)
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图19 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,即最容易出去的不能出去。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图21 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
根据对称性,粒子从径向射出,必定从径向射入,运用放缩圆方法分析得到,最容易出去的是图中红色轨迹线,只要r=4a/3≤mv/eB即可。
入射角θ=0,代入最大圆半径公式的得,r=4a/3。
例题:如图所示为一磁约束装置的简化示意图,
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图23 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
内半径为a、外半径为3a的环状区域Ⅰ内有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。小圆区域Ⅱ中有大量质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内以不同速度向各个方向运动。要使所有粒子都不会穿出区域Ⅰ的外边缘,不计粒子重力及粒子间相互作用,则粒子的最大速度为(D)
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图25 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
有大量粒子以不同速度向各个方向运动,在放缩圆方法基础上,再运用旋转圆方法。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图27 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
由特殊到一般,先任意画一条轨迹图(如图线①),然后放大到与圆环磁场相切(图线②),轨迹③已出磁场,再逆时针旋转图线②,弦越来越短,那么粒子就越容易出去。
旋转到④位置,弦最短,弦最短的地方最容易出去。轨道半径不会超过④的半径就可以限制在环形磁场区域,r=a≤mv/qB。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图29 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
用最大圆半径公式分析:
求最大速度,就是求每个入射角对应的最大圆中的最小圆。
粒子向各个方向发射,θ∈[0,90°]根据最大圆公式,R=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ),分母要最大,当θ=90°时,R=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)
=8a²/6a+2a=a(取最小值)
例题:科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内,使其不能射出。某同学为探究带电粒子“约束”问题,构想了如图所示的磁场区域:
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图31 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
匀强磁场的磁感应强度大小为B、垂直于纸面,其边界分别是半径为R和2R的同心圆,O为圆心,A为磁场内在圆弧上的一点,P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为q/m一的带负电粒子,粒子速度连续分布,且无相互作用。不计粒子的重力,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:
(1)粒子源在A点时,被磁场约束的粒子速度的最大值VmA;
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图33 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
R≤(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)
θ=90°时,分母最小,分数值最大
R=3R²/4R-2R=3R/2=mv/qB
v=3qRB/2m
(2)粒子源在O时,被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm;
时间最长,圆心角最大,弦切角最大。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图35 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
由勾股定理r²+R²=(2R-r)²得,
r=3R/4,t=127πm/90qB。
(3)粒子源在P点时,被磁场约束的粒子速度的最大值Vmp。
![一轮复习:“环形磁场”粒子运动插图37 一轮复习:“环形磁场”粒子运动](https://itzsg.com/wp-content/themes/justnews/themer/assets/images/lazy.png)
r=(R₂²-R₁²)/(2R₂±2R₁sinθ)
速度最大,圆最大,有两圆,根据转动方向,取大圆,表达式取减号,且sinθ=k=1/2。
r=3R²/(4R-R)=R
vmP=qBR/m。
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