3.16 减法居然是这样实现的

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上一期内容中，我们构建了一个8位的二进制加法器，那么举一反三，两个8位的二进制加法器一串连就成了一个16位的加法器，两个16位的加法器，一串连就是32位的加法器，几百位的加法器就是这样串联组成的。能够处理的数据也是非常大的。基本上，加法的问题就这样被解决了。

加法器的不断叠加

那么如何实现减法呢？

我们以十进制为例，举一个常见的例子

我们计算过程的第一步都是从右往左，先是从十位借位，个位的差变成7，然后十位再向百位借数，还要记得算上刚才被个位借过的1，于是十位的差就是15-1-7=7，百位相减，由于借位的存在，相减等于0，于是253-176=77。在减法的过程中，最麻烦的莫过于借位的存在。

有没有一种办法能够避开借位呢？总理曾经说过，办法总比困难多。想想也是，如果困难比办法多，那社会就无法向前发展，一直处于倒退中。

由于借位的存在，计算过程很是麻烦。为什么会出现借位呢，说到底还是被减数不够大，如果是三位数的减法，都是999减去一个数，那么任何数都是够减的。于是就想到一个办法，把式子稍做变换, 原来的式子就变成：

253-176+999-999

式子加一个数，再减去一个数，显然结果是不变的。对数的位置再进行挪动，

253+999-176-999

999足够大，任何三位数都可以相减得到正数，不存在借位的情况。

现在比较麻烦的是后面这个-999，它又是足够大，直接计算又免不了要进行借位操作，如果硬着头皮直接-999做减法，那么我们前面引入+999-999就又回到了原点，而且还是脱离裤子放屁，多此一举。那么怎么办呢？再做一次变化，让问题变得简单，于是就得到了：

253+（999-176）+1-1000，这样的话计算就方便多了。1000是比999高位的数。

走到这一步的时候，需要引入一个叫做补数的概念，999-176就是对176求9的补数，176对9的补数就是823，67对9的补数就是32，数与补数相加等于9，相信这个概念大家不难理解。

为了避开繁琐的借位操作，这里使用了两个减法和两个加法。总结一下计算的方法就是：

被减数-减数=被减数+减数的补数+1-高位数

如果是用二进制来作如上计算，又会是怎么样一种现象，原理上是一样的，不同只是计数的进制，按道理是不影响结果的。转换如下：

还是按照：被减数-减数=被减数+减数的补数+1-高位数的规律

首先对减数求补，这里我们没必要用到999，按照减数的位数，每个位置1再和减数相减，就是减数的补数。

0就是减数的补数。

减数与补数相加：

对结果再加1，

最后再减去一个高位数:

结果就是十进制的77，现在我们可以放心的说，总结的减法规律，对于十进制实用，对二进制同样实用。

在上面的过程中，有一个步骤很有意思，不知到大家有没有发现。在求减数的补数的时候，也就是：

单独观察下：

下面得到的结果实际就是上面的数的取反。0变成1，1变成0。对于二进制来说它有一个天然的优势，求补数就是取反。这时候，我们再稍加联想，想想我们之前遇到的逻辑门，非门就是可以用来取反。

如果我们把之前的加法器稍作变化，那么它就可以实现减法的计算应该不是太困难的问题。在我们的期望中，这个机器能做加法也能做减法，这就是典型的既要又要。

首先，我们需要增加一个信号，用作减法，也就是说减法不开启的时候，机器做加法计算，对其输入的信号就不做变化，只有当做减法时，才会对输入信号做变化，求补数。如果用上面提到的非门门取反，输入信号会无差别的翻转，不是我们想要的结果。于是，我们想办法找到了另外一个逻辑门，就是前面做半加器所提到的异或门。让我们回想下异或门的输出结果：

电路的连接如下：

只有当取反的信号被激活时，才会有取反的动作出现。

当取反信号是0时，输入是0，输出也是0，如果取反信号是1时，输入信号还是0，但是输出信号就变成了，取反生效。

把上面的8个异或门电路重新画成一个器件，就叫做“求补器”

将一个求补器，加法器，一个异或门连接做如下连接，

这就是一个完整的加减法计算机器。

当做加法时，SUB信号值0，这就是我们上节内容中的加法器。当SUB置1时，机器开始做减法。

还记得前面的减法规律吗：被减数+减数的补数+1-高位数

减数的补数

减数的补数就是在这里实现的。

+1的部分就是在CI那里实现的。

还有减去高位数呢：

减去高位数的操作

我们在看一下减去高位数的操作，

二进制计算中其实就是相当于把高位部分给抹掉了。在机器实现过程中，肯定不是人去手动抹掉，而是用了一个异或门。

不得不感慨这个计算机减法的实现过程真的是巧妙之极，为人类的智慧点赞。