2的平方根为什么是无理数

2的平方根为什么是无理数假设 1 那么绝对不能等于 1 因为那样 1 所以在这时作为整数只能是 2 的 假设 2 则 而前面已经说过肯定是大于 1 小于 2 的 所以 2 是绝对不成立的 而在本假设下只能 2 所以 1 的假设不成立 绝对 2

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为什么是无理数?(这里暂不讨论负根)

我们可以首先对它的大小有个粗略估计,因为它被定义为2的平方根,所以我们可以从平方数入手来推算它的大小范围:

(=1)<(=2)<(=4)

所以的值肯定介于1和2之间,比如是1.3、1.4……之类的。

因为有理数都可以写成分数的形式(其中都是整数,非零),这也是有理数的定义,比如:

1=、0=、0.5=、0.3333……==1.125、

0. ……=等等都是有理数。

证明是无理数,我们可以用反证法。

我们假设是有理数,那么肯定=某个,首先我们可以逐步假设,来讨论并尝试性地思索一下,形成一个粗略的认识:

=中,首先都不会为零。

假设=1:那么绝对不能等于1,因为那样=1,所以在这时作为整数只能是2的,假设=2,则=,而前面已经说过肯定是大于1小于2的,所以2是绝对不成立的,而在本假设下只能2,所以=1的假设不成立,绝对2。

假设=2:那么既不能取1也不能取2,因为==2,==1与“肯定是大于1小于2”相违背的,但是如果继续沿着数轴取值,=<1,所以3的所有整数都与“肯定是大于1小于2”相违背的,这时无法取任何整数,所以本假设也不成立,也绝对不能等于2。

假设=3:那么根据上面的推理过程,取1、2、3以及大于3的整数都不成立,你可以口算一下。

好了,我们尝试性的思索就停在这里吧,现在可以归纳了,即如果可以写成的形式,绝对会取大于3的某一个整数,而肯定取的是/2和之间的某个整数,而且我们排除了取1和2的可能(可以口算出来当=4的时候就会把取2排除掉)。

假设已经找到了某个=,根据分式的运算规则,都应该能化简成互相没有公因式的两个互质整数,比如=互质。

我们为什么在上面徜徉思索了那么长时间,就是为了表明,如果=成立,那么n和m是有底线的,它们绝对不会小到1、2、3,而且也不会小到4、5、6去,它们上下约分后化为互质的两个数绝对是两个比较大的整数。

就算上下还可以再约分,它也不会无休止地进行下去,也肯定会卡在某个地方再也不能约分,这时就是的取值。

好了,关键的时刻到了!

=就是最终那两个互质的整数值,那么=,就有,这里明显可以看出,是个偶数。

让我们暂停一下,来回顾一下,设是偶数,=(为任意整数),那么,一个偶数的平方依然绝对是一个偶数;如果是奇数,,那么,一个奇数的平方依然绝对是一个奇数。

所以反过来说,如果是偶数,那么不可能为奇数,它必须为偶数,因为奇数的平方依然是奇数。

所以可以设

代入得到

我们又看到了一丝曙光,上式后两项可以再约去2,于是,哈哈!大家应该马上就能明白一件事情,竟然也是偶数,它还说明了一件事情,肯定也为偶数。

我们转了半天,原来=,这里面的竟然都是偶数。

都是偶数,说明一个严重的事实,不互质!!

所以只能断定假设肯定是错误的。

所以肯定是无理数!

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