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(文章序列号:y5)
话题:#科学# #数学# #黎曼几何#
小石头/编
一个映射,值为数,称为函数,而若值为向量或张量,则称为场。
对于 函数 f: ℝᵐ → ℝ ,观察 y2 中给出的导射定义,
我们发现,若用 单位向量 h/|h| 替换 h,就可以得到 f 的方向导数,而,
于是,定义方向导数为,
当,f 升级为 向量场,
时,方向导数升级为,
以上得到的是,X 在 x 点 处,沿着 h ∈ ℝᵐ 的方向导数。又因为向量场,
在任意点 x ∈ ℝᵐ 处,确定了一个方向 Y(x) ∈ ℝᵐ,所以方向导数还可终升级为,
显然,对于 每个 x,DʏX(x) ∈ ℝᵐ 故,DʏX 也是一个向量场,若用 X(ℝᵐ)ℝᵐ 上的 全体 向量场,再加上 {∂/∂xⁱ} 是 ℝᵐ 的 标准正交基 的事实,则 最终得到,
可以验证 D 满足如下性质 A(设,X,Y,Z 是向量场,f 是函数):
- DX+YZ = DxZ + DʏZ
- DfX Z = f DxZ;
- Dʏ(X + Z) = DʏX + f DʏX;
- Dʏ(fX) = Dʏf X + f DʏX;
这说明 D 具有双线性性。
再考虑,m维流形 M,令,
表示,M上的所有切向量,于是可定义 M 上的切向量场为,
与上面类似,用 X(M) 表示M上的全体切向量场,则可定义:
我们让 D 满足上面的性质A,并称 D 为 联络。由于性质A的双线性性,这里定义的联络,也叫 仿射联络。
由 y4 的知识知,在给定 参数化 ψ: V→U 后,每个 x ∈ U 对应的切空间 TₓM,都有 {∂/∂xⁱ|ₓ} 这个自然基底,于是有,
这是一个局部联络,我们无法保证整体一致性,也就是说:
设 ψ₁和ψ₂ 分别是 U₁和U₂ 上的 参数化,对应的局部联络分别是 D¹ 和 D²,我们无法保证,对于任意 x ∈ U₁∩U₂,一定有 D¹ʏX(x) = D²ʏX(x) 。
不过,我们可以证明:
- 流形上的全体联络是一个凸集,即,设 D¹, … , Dʳ 是联络,f₁, …, fᵣ 是 光滑函数 并且 ∑ᵢ₌₁ʳ fᵢ = 1,则 ∑ᵢ₌₁ʳ fᵢDⁱ 是联络。
于是,我们就可以用局部联络 拼出一个 整体联络,由于局部联络的选择是任意的,而拼用的函数 {fᵢ} 也是任意的,故存在 多个 整体联络。
看到这里,我们不禁会会问:除了上面这种将 局部联络拼接为整体联络 的方法外,有没有直接构造整体联络的方法呢?有!我们可以用 黎曼度量,诱导出一个整体联络,方法如下:
根据y3的知识,设,
是 M 上的黎曼度量。又设 D 是M的一个整体联络 并满足性质B(设,X,Y,Z∈X(M)):
- X〈Y, Z〉= 〈DxY, Z〉+〈Y,DxZ〉;
- DxY – DʏX = [X, Y];
其中,[X, Y] = X◦Y – Y◦X 称为 泊松括号积。
根据 性质B,以及内积的性质:
- 双线性性:〈ax + by, z〉= a〈x, z〉+ b〈y, z〉
- 对称性:〈x, y〉= 〈y, x〉
有,
于是得到,
对于 任意 参数化ψ:V→U , 设 {∂/∂xⁱ|ₓ} 是 切空间 TₓM(x ∈ U)的自然基底,显然 ∂/∂xⁱ 都是 切向量场,而 DʏX(x) ∈ TₓM,于是可令,
再令,
则,
若记,
则 根据 内积的 双线性性 有,
以及,
与同理的,
又因,
故,
于是,
综上,由(1)可得,
根据《线性代数》的知识,若令 (gᵏˡ) 是 (gkl) 的逆阵,则最终有,
再考虑任意 切向量场,
根据性质A,以及(2)处定义,有,
括号里,第一项中有,
而将第二项求和全部展开,有如下图,
对于图中每层有,
交换下标 i 和 k 就得到,
于是,前式继续化简,有,
即,最终得到,
等式(4)说明,DʏX 完全由 Γkjⁱ 决定,而等式(3)又告诉我们 Γkjⁱ 完全由 黎曼度量 g 唯一决定 和局部参数化的选取无关,因此 DʏX 具有整体一致性。
不难验证 DʏX 满足 性质A 的要求,故 DʏX 就是由 黎曼度量 g 诱导的唯一的 联络,称为 黎曼联络 (或 Levi-Civita 联络),由于 黎曼联络 的特殊性(满足性质B),我们一般会用 ∇ 表示。
学过 《曲面论》的朋友,一定会意识到,(3) 处定义的 Γijᵏ 就是 曲面基本定理中 使用的 Christoffel 符号,实际上,黎曼几何 的很多知识,就是 曲面论 在流形上的扩展,以后还会进一步引入曲面论中的概念。
联络 D 中 场 X 和 Y 是任意的,这说明 D 实际上 联络的是 各个 切空间。联络虽然抽象自方向导数,但是它并不一定要是方向导数,实际上,联络有非常多个,而方向导数只有一个,当然,黎曼联络 同样不是唯一的。
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