空气动力学——一些基本概念

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流体的定义

想要研究流体的性质，先要对流体定义，即先要搞清楚流体到底是什么。现实生活中能够观察和感知到的最常见的流体是水和空气，分属于液体和气体。从感性的观察和分析出发，我们常见的流体最显著的特点是有着很强的”包容性”，古人以”海纳百川”来形容大海的广阔无垠，而空气更是无处不在。与之相对的，固体在我们的一般印象中总是有着固定的形状，要改变固体的形状，通常需要一些”硬操作”，如切割等。总结来说，流体与固体的主要不同在于：固体总是有着一定的形状，要改变并不容易；而流体却以各种形状出现，把水倒在杯子里便是杯子的形状，倒在桌子上便是一滩。同时，固体通常不容易具有包容性，要将不属于其本身的物体放置于固体之中且不对其造成破坏几乎是不可能的。

了解了固体和流体通俗意义上的差距之后，还需要用科学的语言来对其进行描述，即写出一个科学的定义，这里直接给出如下关于流体的定义：

受到微小切向力（剪切力）能够发生连续的变形的物体便是流体

若要将流体定义的讨论局限于此未免太过浅薄，透过现象看本质，是什么样的本质差距让流体拥有受切向力时发生连续变形的能力，而固体则只能在受力达到一定程度后发生破坏呢？

这里提供一种基本的思路，即从微观角度出发来洞悉宏观世界的现象。在这里指出流体与固体的一种显著差异：不论是液体还是气体，组成它们的基本粒子之间的距离都要远大于固体，也就是固体的粒子之间的组合联系要更加紧密 流体的流动能力，即受剪变形的能力便是来自于这种微观特性。这样的从微观角度分析的方法在对于可压缩流体和粘性流体的研究中还有着很多应用。

流动的分类

连续流动与自由粒子流(Continuum Versus Free Molecue Flow)

设想流体流过一个物体的表面，在绝大多数情况下，由于流体中的基本粒子间的距离，即自由程 � ，相比物体的宏观尺寸数量级过小。或者说物体并无法分辨出流体中不同粒子产生的撞击，将流体视为没有中断连续的物质，此时的流动称为连续流动。

与连续流动相对应的，如果基本粒子间的距离 � 过大，物体已经可以感知到不同粒子所产生的不同的撞击，此时则称流动为自由粒子流。

实际应用中的绝大多数流体都被视为连续流动，这也被称为连续介质假设，只有极少数情况下需要研究粒子流。同时，介于二者之间的一种流动同时具有二者的特性，称这种流动为低密度流，这里不再详细介绍。

无粘流体与粘性流体(Inviscid Versus Viscous Flow)

基本的物理学常识告诉我们，构成物质的基本粒子总是在不断的进行中无规则的热运动，同时粒子之间也会因运动而产生碰撞，而碰撞中有必然会伴随着质量、动量、以及能量的交换，流体自然也不例外。

正是以上的这些微观层面的交换现象分别引起了宏观上的质量扩散(Mass diffusion)、粘性摩擦(friction)、以及热传导(thermal conduction)。在实际研究中，对于此类现象不可忽略的流体，称之为粘性流体(viscous flow)，而为了方便研究”交换现象”不会对研究产生过大影响的流体，我们通常将其忽略，这便是无粘流体(Inviscid flow)。

可压缩与不可压缩流动(Compressible Versus Incompressibel flows)

在流动中，若流体的密度 � 视为常数，此时流动为不可压缩流动。反之密度作为变量的流动为可压缩流动。关于可压缩性的详细定义在之后的章节中再做介绍。

在现实生活中，任何流体在一定程度上都是可压缩的，并不存在真正的完全不可压缩的流体；但为了研究的方便，通常将可压缩性对其相关性质影响不大的流体视为不可压缩流体。一般来讲，由于液体的分子间间距较小，其压缩性一般远小于气体；故也有液体不可压缩而气体可压缩的说法，这明显是不严谨的但在一定程度上也是真实的。

马赫数准则(Mach Number Regimes)

在上面已经通过连续性、可压缩性以及粘性对流动进行了分类，尽管它们在流体力学中都有着重要的作用和举足轻重的地位，但为为人所熟知的分类方式则是围绕着速度(velocity)这一基本物理学性质来定义。

流速的定义

我们很容易得就能定义出固体的速度，因为绝大多数固体在运动中并不会发生形变，且固体的每一部分都具有相同的速度，可以很方便的运用质点的概念将固体这一整体的速度抽象为质点这一点处的概念。但在面对流体这一在流动中很容易发生形变的物质，流体的每一部分可能都具有不同的流速。如龙卷风的中心和漩涡边缘的风速便有很大差距，与较远处基本静止的空气相比更是天壤之别，但它们却同属于一个连续的流场(flow field)。由此可见，如何来定义流动的流体的速度是一个很重要的问题。参考从固体中抽象出质点的方法，同样利用”点”这一概念来定义流速；不过此时的点不再来源于物体，因为此时物体作用流体是会变化的；将空间中具体不变的一个个空间点来作为我们定义流速的基础，对流速做如下定义：

对于空间中某一定点，流过这一点的流体微元的速度为这一点的流速

马赫数的定义

在流体力学中众多的无量纲参数中，马赫数是最广为人知的，也确实有着广泛的应用。

马赫数的定义:

流场中某一点处的流速与当地声速的比值为该处的马赫数 Ma

Ma=V/a

关于当地声速的定义，留在可压缩流体的部分中再详细介绍，在这里简单直观的理解为声音的传播速度即可。

马赫数准则分类

下面来介绍依据马赫数来对流动进行分类的具体内容：

1. 亚声速流动(Subsonic flow)：如果流场中任意一处流体的马赫数均小于1，即流速小于当地声速，称此时的流动为亚声速流动。亚声速流动的特征是平滑的流线。值得注意的是，对于包含有固体（如飞机的机翼）的流场，由于流速小于声速，固体的存在而对流动产生的干扰可以传播至整个流场。这符合我们的一般认知，当物体落入水中是，产生的波纹总是以近似圆形同时向上游和下游传播。但不要认为这是理所当然的，当流速超过声速后，情况便大不相同了。

2. 跨声速流动(Transonic flow)：如果流场中同时存在超声速（Ma>1）和亚声速（Ma<1）的部分，则称此时的流动为跨声速流动。由于实际研究中流场中通常有固体存在，而固体的扰动通常会引起流场中不同部分的流速的变化，也就是说，原本是亚声速流动的流体在流过物体时很可能在局部变为超声速，反之也是一样。所以跨声速流动在实际应用研究中也是十分常见的。

3. 超声速流动(Supersonic flow)：如果流场中任意一处的马赫数均大于1，则称流动为超声速流动。与亚声速流动不同，在超声速流体中的各种扰动会产生激波，流体在流过激波时其性质会发生剧烈的变化，激波的存在在局部上破坏了流动的连续性。其流线不再连续平滑。关于激波的讨论同样放在可压缩流体中进行。

4. 超高声速流动(Hypersonic flow)：当流场中的马赫数十分大时，流动为高超声速流动。高超声速流动的显著特征是由于过高的流速，激波与物体边界的距离变得极小，同时在激波与物体边界间的流动中存在着大量的粘性作用，且由于过高的温度使得流体中的基本粒子开始发生化学反应产生新的物质。

空气动力学中的力与力矩

在航空航天相关的专业应用中，接触到的流体主要是空气，以空气为主要研究对象的流体力学的分支为空气动力学。在空气动力学相关的研究中，最重要的便是物体在流场中的受力情况，从我们叠的纸飞机，到飞机结构的设计甚至是航空发动机的内部结构都依赖于此。

力和力矩的来源

对于在天空中飞行的飞机的受力分析似乎是十分复杂的，包括机头、机身、机翼等部位的复杂的外形会对来流的空气产生很大的干扰，进而在飞机四周形成复杂的流场。但对飞行器的受力分析从某种角度来说却又是十分简单的，因为无论流场多么复杂，其中的物体所受的力只有两种来源：

1. 在物体表面的压力分布

2. 在物体表面切向力分布

无论物体的表面有多么复杂，其所受到的力和力矩都来自于以上两个方面；其中压力总是垂直于物体的表面，切向力总是与物体表面相切且是摩擦力的源头，是物体所受阻力的重要组成部分。

关于机翼的受力讨论

下面以一个二维的机翼的受力为例来讨论物体在流场中的受力。注意二维流动指的就是流体的流场是二维的，只有x,y两个方向，不考虑z方向，即取机翼的一个横截面而忽略其长度进行讨论。

一个二维翼形的受力简图如下：

其中翼形表面的压力和切向力最终形成合力R作用于翼形上的某一受力点，同时伴随有该点所对应的力矩M。

通常情况下，我们会对合力R进行分解以定义一些常见常用的分力，以此来方便研究和对物理现象的直观分析。大部分情况下将合力分解为两套不同的分力体系，分别是轴向力和法向力、升力和阻力。

合力的分解

轴向力和法向力：平行于翼形弦长(翼形头部和尾部所连直线)的分力为轴向用A表示。与其垂直的为法向力，用N来表示。

升力和阻力：与来流方向相垂直的分力为升力，用L来表示。与其垂直的与来流方向平行的分力为阻力，用D来表示。

其中，弦长方向与来流方向之间的夹角被称为攻角(angle of attack)。

从上图可以看出，攻角还是L与N，D与A之间的夹角，通过几何关系可以轻松的得出两种分力系之间的转化关系：

由此可见，机翼的升力和阻力可以通过其所受的轴向力和法向力以及攻角来得出。那么该如何计算轴向力和法向力呢？上面已经说过，任何力的来源都是压力和切向力，故对二维翼形建立下图所示的坐标系并对其表面进行受力分析：

图中x轴将翼形沿弦长分为上下两部分，上表面对应的下标为u，下表面为l，其中和 分别代表从翼形前缘点（即坐标原点）绕上或下表面到达翼形表面某点的弧长，这样设置的目的是为了接下来积分的方便。

观察图中翼形表面上的任意一点，其所受的力为压力( 或 )和切向力或 )。此时的力为微元表面，即单位面积（长度）所受的力，故用小写字母表示。所有这些用字母表示的力均非定值，可能会因不同问题中的不同条件而随着不同的函数变化，流体力学的一个重要任务便是通过分析计算得出不同情形下这些力的分布函数。

由于翼形表面的不规则性，同时压力始终沿表面法向而切向力始终与表面相切，故他们的方向会随着表面的几何形状变化而变化，如上图所示。为了方便得表示方向，分别做竖直和水平方向的虚线作为方向的参考线，令压力和切向力与参考方向的夹角为,同时规定从虚线出发沿顺时针到达对应的力时的 为正值（注意所有的都应为锐角，通过旋转方向来判断正负）。

现在，假设上面提到的所有力和角度都是已知的，翼形的几何形状是确定的，那么我们就已经做好了计算翼形表面所受轴向力、法向力的准备，也就可以通过攻角来计算升力和阻力。

上图所示为二维翼形等截面延伸为三维机翼，即沿z方向截面不变的机翼，现通过积分来计算三维机翼的受力，其中沿z方向的长度为1，为单位二维曲线所对应的三维曲面，只要将压力和切向力对在整个机翼上积分即可，具体推导如下：

对于上表面：

对于下表面：

其中表示力的字母的上标代表单位跨度，即沿z轴方向长度为1。

对整个机翼进行积分得：

由此便得出来计算轴向力和法向力的一般方法。

机翼所受的力矩

用相似的积分的思想可以计算翼形所承受的力矩。从基本的理论力学知识可以知道，在物体中不同点所受的力矩是不同的，这里我们选择翼形的前缘点为受力点，同时规定使攻角增大的力矩方向为正向，如下图所示：

和分析受力时相同，先通过单位弧长的受力来写出微分形式的前缘点力矩：

对上表面：

对下表面：

注意上面的式子是写在直角坐标系下的，故计算下表面时y为负值。

对上面两式进行积分并相加得：

对于上面的公式，若物体的表面形状已知，则都可以表示为弧长s的函数，只要再求出 即可计算物体的受力和力矩。

相关的无量纲参数

为了研究的方便，很多时候会使用无量纲参数来代替带有单位的物理量。使用无量纲参数既可以除去单位的麻烦（注意计算无量纲系数时要采用统一的单位制），还可以更直观的对一些性质进行比较。

首先定义一个带有量纲的量，即来流的动压(Dynamic pressure):

其中各参数的下标 ∞ 代表此为无穷远处来流的参数。注意动压的量纲为，而力的量纲为，两者相差 。故将空气动力学中的力和力矩对应的无量纲系数定义如下：

升力系数：

阻力系数：

法向力系数：

轴向力系数：

力矩系数：

其中的S,l分别为为了使力和力矩无量纲化而设置的特征面积和特征长度。他们的选取取决于流场中所研究物体的几何形状，具体的取值究竟是多少并不关键，他们只是进行无量纲化的工具，关键在于要清楚一个无量纲参数是以哪个几何特征为特征面积和特征长度的，并保持前后一致，重要的是哪一个而不是是多少。下面分别给出机翼和圆柱的特征面积和长度的一种方案作为参考：

注意以上的讨论全部基于三维流动，相似的可以定义二维流动下的无量纲系数：

此时的特征面积S=c(1)=c

再补充两个以压力和切向力为基础的无量纲系数：

有了以上的无量纲参数，我们同样还可以把之前得出的力和力矩的计算公式换为无量纲形式，对如下图所示的三维机翼:

带入得出无量纲形式公式：

类似的，也可以将两种力的分解方式的转换公式化为无量纲形式：

受力点的确定

到目前为止，我们已经详细介绍了空气动力学中研究的物体受力的来源、方向以及计算方法，关于受力分析的最后一个问题是，合力在物体上的作用点在哪里？要确定合力的作用点，应紧紧把握住其特点，即合力的作用点在作用在前缘点上的力矩应恰好等于,来实现整个系统在不受额外力矩情况下的受力平衡。

如上图所示，假设合力作用在距离前缘点水平方向处，则：

注意式中的负号代表图中所示的法向力在前缘点上的力矩为负，而, 默认为正。另外图中所示情况假设了轴向力与弦长重合，即力系作用在弦长上，若作用点不在弦长上，参考上面的方式设置 即可。
若假定力的作用点不在实际作用点处，即对力系进行移动，则直接添加其对应的力矩即可。

上图图一中力直接作用在前缘点，对前缘点的力矩为零，则需补充 , 的力矩；图二把力系放到了 处，则需补充压力和切向力在 处的力矩处的力矩, ；图三直接将力放在其实际作用点上，无需补充任何力矩。

总的来说，力系可以作用在任意点，只要补充物体表面的压力和切向力在这一点处作用的力矩即可。